90. If $a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right),b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right),c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ are in A.P., prove that a, b, c are in A.P

<p><strong>90.&nbsp;</strong>Given, <span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mi>b</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mi>c</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>b</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math></span>&nbsp;are in A.P.</p><p>So,&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mtext> </mtext><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mrow><mi>b</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>c</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mrow><mi>c</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></mfrac></mrow></math></span>&nbsp;are in A.P.</p><p><span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mo>⇒</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>c</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mrow><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></mfrac></mrow></math></span>&nbsp;are in A.P.</p><p>If we add 1 to all each terms of the sequence it will given be an A.P of common difference 1.</p><p>So,&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>c</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mfrac><mrow><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></math></span>&nbsp;are in A.P.</p><p><span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mo>⇒</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>c</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mrow><mi>B</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></mfrac></mrow></math></span>&nbsp;are in A.P.</p><p>Dividing add of the sum by ab + bc + ac will conserve.</p><p>then A.P so,</p><p><span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mo>⇒</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>c</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></mfrac></mrow></math></span>&nbsp;are in A.P.</p><p>Similarly multiplying each term by abc we get,</p><p><span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mo>⇒</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>c</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></mfrac></mrow></math></span>&nbsp;are in A.P.</p><p>a, b, c, are in A.P.</p><p>Hence proved</p>

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