A bag contains 5 red marbles and 3 black marbles. Three marbles are drawn one by one without replacement. What is the probability that at least one of the three marbles drawn be black, if the first marble is red?

3 Views | Posted 3 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

alok kumar singh | Contributor-Level 10

3 months ago

This is a Short Answer Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Sol:

$\begin{array}{l} L e t r e d m a r b l e s b e r e p r e s e n t e d w i t h R a n d b l a c k m a r b l e s b e r e p r e s e n t e d w i t h B . \\ T h e f o l l o w i n g t h r e e c o n d i t i o n s a r e p o s s i b l e, i f a t l e a s t o n e o f t h e t h r e e m a r b l e s \\ d r a w n b e b l a c k a n d f i r s t m a r b l e i s r e d . \\ (i) E_{1} = I I b a l l i s b l a c k a n d I I I i s r e d \\ (i i) E_{2} = I I b a l l i s b l a c k a n d I I I i s a l s o b l a c k \\ (i i i) E_{3} = I I b a l l i s r e d a n d I I I i s b l a c k \\ ∴ P (E_{1}) = P (R_{1}) . P (B_{1} / R_{1}) . P (R_{2} / R_{1} B_{1}) = \frac{5}{8} . \frac{3}{7} . \frac{4}{6} = \frac{60}{336} = \frac{5}{28} \\ P (E_{2}) = P (R_{1}) . P (B_{1} / R_{1}) . P (B_{2} / R_{1} B_{1}) = \frac{5}{8} . \frac{3}{7} . \frac{2}{6} = \frac{30}{336} = \frac{5}{56} \\ a n d P (E_{3}) = P (R_{1}) . P (R_{2} / R_{1}) . P (B_{1} / R_{1} R_{2}) = \frac{5}{8} . \frac{4}{7} . \frac{3}{6} = \frac{60}{336} = \frac{5}{28} \\ ∴ P (E) = P (E_{1}) + P (E_{2}) + P (E_{3}) = \frac{5}{28} + \frac{5}{56} + \frac{5}{28} = \frac{25}{56} \\ H e n c e, t h e r e q u i r e d p r o b a b i l i t y i s \frac{25}{56} . \end{array}$

This is a  Short Answer Type Questions as classified in NCERT ExemplarSol: <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>L</mi> <mi>e</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mi>e</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>b</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>p</mi> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>s</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>t</mi> <mi>e</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>w</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>R</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mi>k</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mi>e</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>b</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>p</mi> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>s</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>t</mi> <mi>e</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>w</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>B</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>T</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>w</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>g</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>i</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mi>l</mi> <mi>e</mi> <mi>a</mi> <mi>s</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>o</mi> <mi>f</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mi>e</mi> <mi>s</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>w</mi> <mi>n</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>b</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mi>k</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mi>i</mi> <mi>r</mi> <mi>s</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>d</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mi>I</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>b</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>l</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mi>k</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>I</mi> <mi>I</mi> <mi>I</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mi>I</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>b</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>l</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mi>k</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>I</mi> <mi>I</mi> <mi>I</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>s</mi> <mi>o</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mi>I</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>b</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>l</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>I</mi> <mi>I</mi> <mi>I</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mi>k</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>∴</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>/</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>/</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>7</mn> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>6</mn> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mn>3</mn> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>/</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>/</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>7</mn> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mn>3</mn> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>/</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>/</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> <mrow> <mn>7</mn> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>6</mn> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mn>3</mn> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>∴</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>H</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>c</mi> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>q</mi> <mi>u</mi> <mi>i</mi> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> <mi>r</mi> <mi>o</mi> <mi>b</mi> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>i</mi> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>y</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math>