A test-tube consists of a cylinder with a hemispherical base. The diameter of the hemisphere is 2a and the height of the cylinder is b (internal measurements). Three marks are made on the test tube to indicate when the test-tube is half full, one-quarter full and three quarters full. Find the heights of these three marks above the lowest point of the test-tube in order of half full, one quarter full and three quarters full?

Option 1 -

$\frac{2}{3} a + \frac{b}{2}, \frac{a}{2} + \frac{b}{4}, \frac{5}{6} a + \frac{3}{4} b$

Option 2 -

$\frac{1}{3} a + \frac{b}{2}, \frac{a}{4} + \frac{b}{2}, \frac{5}{6} a + \frac{3}{4} b$

Option 3 -

$\frac{a}{2} + \frac{b}{2}, \frac{a}{2} + \frac{b}{4}, \frac{5}{6} a + \frac{3}{4} b$

Option 4 -

$\frac{3}{2} a + \frac{b}{2}, \frac{a}{2} + \frac{b}{4}, \frac{5}{6} a + \frac{3}{4} b$

2 Views | Posted a month ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Raj Pandey | Contributor-Level 9

a month ago

Correct Option - 1

Detailed Solution:

Volume of tube $= \frac{2}{3} π a^{3} + π a^{2} b$ $\frac{}{}^{}^{}$

When it is half-full $= \frac{1}{3} π a^{3} + \frac{1}{2} π a^{2} b$ $\frac{}{}^{} \frac{}{}^{}$

Volume of Cylinder

$= \frac{1}{3} π a^{3} + \frac{1}{2} π a^{2} b - \frac{2}{3} π a^{3} = \frac{1}{2} π a^{2} b - \frac{1}{3} π a^{3}$

Length in the cylinder

$= (\frac{1}{2} π a^{2} b - \frac{1}{3} π a^{3}) \div π a^{2} = \frac{1}{2} b - \frac{1}{3} a$

The height above the lowest point

$\frac{1}{2} b - \frac{1}{3} a + a = \frac{2}{3} a + \frac{1}{2} b$

When it is $\frac{1}{4}$ $\frac{}{}$ full, volume $= \frac{1}{6} π a^{3} + \frac{1}{4} π^{a} b$ $\frac{}{}^{} \frac{}{}^{}$

Volume of cylinder

$= \frac{1}{6} π a^{3} + \frac{1}{4} π a^{2} b - \frac{2}{3} π a^{3} = \frac{1}{4} π a^{2} b - \frac{1}{2} π a^{3}$

Length in the cylinder

$= (\frac{1}{4} π a^{2} b - \frac{1}{2} π a^{3}) \div π a^{2} = \frac{1}{4} b - \frac{1}{2} a$

The height above the lowest point

$= \frac{1}{4} b - \frac{1}{2} a + a = \frac{1}{2} a + \frac{1}{4} b$

When it is full, volume

$= \frac{3}{4} (\frac{2}{3} π a^{3} + π a^{2} b) = \frac{1}{2} π a^{3} + \frac{3}{4} π a^{2} b$

Volume in cylinder

$= \frac{1}{2} π a^{2} + \frac{3}{4} π a^{2} b - \frac{2}{3} π a^{3} = \frac{3}{4} π a^{2} b - \frac{1}{6} π a^{3}$

Length in the cylinder

$= (\frac{3}{4} π a^{2} b - \frac{1}{6} π a^{3}) \div π a^{2} = \frac{3}{4} b - \frac{1}{6} a$

The height above the lowest point

$= \frac{3}{4} b - \frac{1}{6} a + a = \frac{5}{6} a + \frac{3}{4} b$

Volume of tube <math> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>b</mi> </mrow> </math> <math><mrow><mfrac><mrow></mrow><mrow></mrow></mfrac><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup></mrow></math>When it is half-full <math> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>b</mi> </mrow> </math> 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