Ask & Answer Question

Consider the line L given by the equation $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1} .$ Let Q be the mirror image of the point (2, 3, -1) with respect to L. Let a plane P be such that it passes through Q, and the line L is perpendicular to P. Then which of the following points is one the plane P?

Option 1 -

(1, 2, 2)

Option 2 -

(-1, 1, 2)

Option 3 -

(1, 1, 1)

Option 4 -

(1, 1, 2)

2 Views | Posted 2 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

2 months ago

Correct Option - 1

Detailed Solution:

Equation of plane $⊥^{r}$ to line $\frac{x - 3}{2} = \frac{x - 1}{1} = \frac{x - 2}{1}$ and passes through the point

(2, 3, -1) is 2(x – 2) + 1(y – 3) + 1 (z + 1) = 0

=> 2x + y + z – 6 = 0 .(i)

Hence point (1, 2, 2) satisfies equation (i)

$z = \frac{1}{1 - c o s θ + 2 i s i n θ} = \frac{1 - c o s θ - 2 i s i n θ}{{(1 - c o s θ)}^{2} - {(2 i s i n θ)}^{2}} = \frac{2 s i n^{2} \frac{θ}{2} - 2 i s i n θ}{{(1 - c o s θ)}^{2} + 4 s i n^{2} θ}$

$∴ R e (z) = \frac{2 s i n^{2} \frac{θ}{2}}{4 s i n^{2} \frac{θ}{2} (s i n^{2} \frac{θ}{2} + 4 c o s^{2} \frac{θ}{2})} = \frac{1}{2 (1 + 3 c o s^{2} \frac{θ}{2})} = \frac{1}{5} \Rightarrow c o s^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow θ = \frac{π}{2} ∴ \int_{0}^{\frac{π}{2}} s i n x d x = 1$

Equation of plane <math> <mrow> <msup> <mrow> <mo>⊥</mo> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msup> </mrow> </math> to line <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> and passes through the point(2, 3, -1) is 2(x – 2) + 1(y – 3) + 1 (z + 1) = 0=> 2x + y + z – 6 = 0         .(i)Hence point (1, 2, 2) satisfies equation (i) <math> <mrow> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>       <math> <mrow> <mo>∴</mo> <mi>R</mi> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </mfrac> <mo>⇒</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>    <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mtext> </mtext> <mo>∴</mo> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </msubsup> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>x</mi> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </math>

0 Upvotes 0 Downvotes

Get authentic answers from experts, students and alumni that you won't find anywhere else

On Shiksha, get access to

65k Colleges
1.2k Exams
687k Reviews
1800k Answers

Community GuidelinesUser Points System

QuestionsDiscussionsTags

1 Answer

Learn more about...

Most viewed information

Share Your College Life Experience

Didn't find the answer you were looking for?

Need guidance on career and education? Ask our experts

Your Question

Consider the line L given by the equation x − 3 2 = y − 1 1 = z − 2 1 . Let Q be the mirror image of the point (2, 3, -1) with respect to L. Let a plane P be such that it passes through Q, and the line L is perpendicular to P. Then which of the following points is one the plane P?