$\int e^{ta{n}^{-1}x}\left(\frac{1+x+x^2}{1+x^2}\right)dx$

<p>This is a Long Answer Type Questions as classified in NCERT Exemplar</p><p><strong>Sol:</strong></p><p><math><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><mi>L</mi><mi>e</mi><mi>t</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>I</mi><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><mrow><mo>∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mstyle><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mtext> </mtext><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mi>P</mi><mi>u</mi><mi>t</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>t</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mo>⇒</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>.</mo><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><mrow><mo>∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mstyle><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>t</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mtext> </mtext><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><mrow><mo>∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>s</mi><mi>e</mi><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>t</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mtext> </mtext><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>t</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>t</mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>∴</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mo>'</mo></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>t</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>s</mi><mi>e</mi><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>t</mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mo>=</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup><mo>.</mo><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>t</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>x</mi></mrow></msup><mo>.</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>C</mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mrow><mo>[</mo><mrow><mo>?</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mstyle displaystyle="true"><mrow><mo>∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mstyle><mrow><mo>[</mo><mrow><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mo>'</mo></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow><mtext> </mtext><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mi>C</mi></mrow><mo>]</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>c</mi><mi>e</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>I</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>x</mi></mrow></msup><mo>.</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>C</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></math></p>

0 Upvotes 0 Upvotes 0 Downvotes

• • Report Abuse
• Comment