Find the equation of a circle whose center is (3, -1) and which cuts off a chord of length 6 units on the line $2x-5y+18=0$ .

[Hint: To determine the radius of the circle, find the perpendicular distance from the center to the given line.]

This is a Long Answer Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Sol:

 

$\begin{array}{l}Giventhat:\\ Centreofthecircle=\left(3,-1\right)\\ LengthofchordAB=6units\\ CP=\left|\frac{2\times 3-5\times 1+18}{\sqrt[]{{\left(2\right)}^2+{\left(-5\right)}^2}}\right|\\ =\left|\frac{6+5+18}{\sqrt[]{29}}\right|=\sqrt[]{29}\\ NowAB=6units.\\ \therefore AP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times 6=3units\\ In\Delta CPA,A{C}^2=C{P}^2+A{P}^2\\ ={\left(\sqrt[]{29}\right)}^2+{\left(3\right)}^2=29+9=38\\ \therefore AC=\sqrt[]{38}\\ So,theradiusofthecircle,r=\sqrt[]{38}\\ \therefore Equationofthecircleis\\ {\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2={\left(\sqrt[]{38}\right)}^2\\ \Rightarrow {\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=38\\ \Rightarrow x^2+9-6x+y^2+1+2y=38\\ \Rightarrow x^2+y^2-6x+2y=28\\ Hence,therequiredequationis{x}^2+y^2-6x+2y=28.\end{array}$

<p>This is a Long Answer Type Questions as classified in NCERT Exemplar</p><p><strong>Sol:</strong></p><div class="photo-widget-full"><div class="figure"><picture><source srcset="" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1751870108phpNEaOYK.jpeg" alt="" width="306" height="210" loading="lazy"></picture></div></div><p>&nbsp;</p><p><strong><math><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><mi>G</mi><mi>i</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>a</mi><mi>t</mi><mo>:</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>C</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>o</mi><mi>f</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>c</mi><mi>i</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>l</mi><mi>e</mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>3</mn><mo>,</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mi>L</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mi>t</mi><mi>h</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>o</mi><mi>f</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>c</mi><mi>h</mi><mi>o</mi><mi>r</mi><mi>d</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mn>6</mn><mtext> </mtext><mi>u</mi><mi>n</mi><mi>i</mi><mi>t</mi><mi>s</mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>C</mi><mi>P</mi><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>−</mo><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>1</mn><mn>8</mn></mrow><mrow><mroot><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>5</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow></mfrac></mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>6</mn><mo>+</mo><mn>5</mn><mo>+</mo><mn>1</mn><mn>8</mn></mrow><mrow><mroot><mrow><mn>2</mn><mn>9</mn></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow></mfrac></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mroot><mrow><mn>2</mn><mn>9</mn></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mi>N</mi><mi>o</mi><mi>w</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mn>6</mn><mtext> </mtext><mi>u</mi><mi>n</mi><mi>i</mi><mi>t</mi><mi>s</mi><mo>.</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>∴</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>A</mi><mi>P</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>×</mo><mn>6</mn><mo>=</mo><mn>3</mn><mtext> </mtext><mi>u</mi><mi>n</mi><mi>i</mi><mi>t</mi><mi>s</mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mi>I</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>Δ</mi><mi>C</mi><mi>P</mi><mi>A</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>A</mi><msup><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mi>C</mi><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>A</mi><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mo>=</mo><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mroot><mrow><mn>2</mn><mn>9</mn></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>3</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>2</mn><mn>9</mn><mo>+</mo><mn>9</mn><mo>=</mo><mn>3</mn><mn>8</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>∴</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>A</mi><mi>C</mi><mo>=</mo><mroot><mrow><mn>3</mn><mn>8</mn></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mi>S</mi><mi>o</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>r</mi><mi>a</mi><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>u</mi><mi>s</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>o</mi><mi>f</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>c</mi><mi>i</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>l</mi><mi>e</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>r</mi><mo>=</mo><mroot><mrow><mn>3</mn><mn>8</mn></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>∴</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>E</mi><mi>q</mi><mi>u</mi><mi>a</mi><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>o</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>o</mi><mi>f</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>c</mi><mi>i</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>l</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>s</mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mroot><mrow><mn>3</mn><mn>8</mn></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>⇒</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>3</mn><mn>8</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>⇒</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>9</mn><mo>−</mo><mn>6</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mn>8</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>⇒</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>6</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mn>8</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>c</mi><mi>e</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>q</mi><mi>u</mi><mi>i</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>d</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>e</mi><mi>q</mi><mi>u</mi><mi>a</mi><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>o</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>s</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>6</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mn>8</mn><mo>.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></math></strong></p>

0 Upvotes 0 Upvotes 0 Downvotes

• • Report Abuse
• Comment