Find the value of the expression $c o s^{4} (\frac{π}{8}) + c o s^{4} (\frac{3 π}{8}) + c o s^{4} (\frac{5 π}{8}) + c o s^{4} (\frac{7 π}{8}) .$

Hint : Simplify the expression to 2 ( $c o s^{4} (\frac{π}{8}) + c o s^{4} (\frac{3 π}{8}) = 2 [{(c o s^{2} \frac{π}{8} + c o s^{2} \frac{3 π}{8})}^{2} - c o s^{2} \frac{π}{8} c o s^{2} \frac{3 π}{8} .$

2 Views | Posted 3 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

alok kumar singh | Contributor-Level 10

3 months ago

This is a Long Answer Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Sol:

$\begin{array}{l} c o s^{4} (\frac{π}{8}) + c o s^{4} (\frac{3 π}{8}) + c o s^{4} (\frac{5 π}{8}) + c o s^{4} (\frac{7 π}{8}) . \\ = c o s^{4} (\frac{π}{8}) + c o s^{4} (\frac{3 π}{8}) + c o s^{4} (π - \frac{3 π}{8}) + c o s^{4} (π - \frac{π}{8}) \\ = c o s^{4} \frac{π}{8} + c o s^{4} \frac{3 π}{8} + c o s^{4} \frac{3 π}{8} + c o s^{4} \frac{π}{8} \\ = 2 c o s^{4} \frac{π}{8} + 2 c o s^{4} \frac{3 π}{8} = 2 [c o s^{4} \frac{π}{8} + c o s^{4} \frac{3 π}{8}] \\ = 2 [c o s^{4} \frac{π}{8} + c o s^{4} (\frac{π}{2} - \frac{π}{8})] = 2 [c o s^{4} \frac{π}{8} + s i n^{4} \frac{π}{8}] \\ = 2 [c o s^{4} \frac{π}{8} + s i n^{4} \frac{π}{8} + 2 s i n^{2} \frac{π}{8} . c o s^{2} \frac{π}{8} - 2 s i n^{2} \frac{π}{8} . c o s^{2} \frac{π}{8}] \\ = 2 [{(c o s^{2} \frac{π}{8} + s i n^{2} \frac{π}{8})}^{2} - 2 s i n^{2} \frac{π}{8} . c o s^{2} \frac{π}{8}] \\ = 2 [1 - 2 s i n^{2} \frac{π}{8} . c o s^{2} \frac{π}{8}] = 2 - 4 s i n^{2} \frac{π}{8} . c o s^{2} \frac{π}{8} \\ = 2 - {(2 s i n \frac{π}{8} . c o s \frac{π}{8})}^{2} = 2 - {(s i n \frac{π}{4})}^{2} \\ = 2 - {(\frac{1}{\sqrt[]{2}})}^{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \\ H e n c e, t h e r e q u i r e d v a l u e o f t h e expression = \frac{3}{2} . \end{array}$

This is a Long Answer Type Questions as classified in NCERT ExemplarSol: <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>7</mn> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>π</mi> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>π</mi> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow><mi>H</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>c</mi><mi>e</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>q</mi><mi>u</mi><mi>i</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>d</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>v</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mi>u</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>o</mi><mi>f</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext>expression<mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>.</mo></mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math>

0 Upvotes 0 Downvotes

Get authentic answers from experts, students and alumni that you won't find anywhere else

On Shiksha, get access to

65k Colleges
1.2k Exams
688k Reviews
1800k Answers

Community GuidelinesUser Points System

QuestionsDiscussionsTags

1 Answer

Learn more about...

Most viewed information

Share Your College Life Experience

Didn't find the answer you were looking for?

Need guidance on career and education? Ask our experts

Your Question

Find the value of the expression c o s 4 ( π 8 ) + c o s 4 ( 3 π 8 ) + c o s 4 ( 5 π 8 ) + c o s 4 ( 7 π 8 ) . Hint : Simplify the expression to 2 ( c o s 4 ( π 8 ) + c o s 4 ( 3 π 8 ) = 2 [ ( c o s 2 π 8 + c o s 2 3 π 8 ) 2 − c o s 2 π 8 c o s 2 3 π 8 .