For $k \in R,$ let the solutions of the equation $c o s (s i n^{- 1} (x c o t (t a n^{- 1} (c o s (s i n^{- 1} x)))))$ =, 0 < $| x | < \frac{1}{\sqrt[]{2}}$ be a and b, where the inverse trigonometric functions take only principal values. If the solutions of the equation x² – bx – 5 = 0 are $\frac{1}{α^{2}} + \frac{1}{β^{2}} a n d \frac{α}{β} t h e n \frac{b}{k^{2}}$ is equal to…………

2 Views | Posted 3 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

alok kumar singh | Contributor-Level 10

3 months ago

use $s i n^{- 1} x = c o s^{- 1} \sqrt[]{1 - x^{2}}$

$t a n^{- 1} \sqrt[]{1 - x^{2}} = c o t^{- 1} \frac{1}{\sqrt[]{1 - x^{2}}}$

$s i n^{- 1} \frac{x}{\sqrt[]{1 - x^{2}}} = c o s^{- 1} \frac{\sqrt[]{1 - 2 x^{2}}}{\sqrt[]{1 - x^{2}}}$

Sum of roots ->b = -1 + 2 $\frac{(k^{2} - 1)}{k^{2} - 2}$

Product of roots -> -5 = -2 $(\frac{k^{2} - 1}{k^{2} - 2})$

b = 4, k² = $\frac{1}{3}$

use <math> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mroot> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math>   <math> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mroot> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>                <math> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>               Sum of roots ->b = -1 + 2   <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> Product of roots -> -5 = -2  <math> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math>  b = 4, k2 = <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>

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