If 0 -1a + tan^-1 b =π/2 then the value of

$(a + b) - (\frac{a^{2} + b^{2}}{2}) + (\frac{a^{3} + b^{3}}{3}) - (\frac{a^{4} + b^{4}}{4}) + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i s$

Option 1 -

log_e2

Option 2 -

Option 3 -

e² – 1

Option 4 -

log_e $(\frac{e}{2})$

2 Views | Posted a month ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

a month ago

Correct Option - 1

Detailed Solution:

Given $t a n^{- 1} a + t a^{- 1} b = \frac{π}{4}$ $^{}^{} \frac{}{}$

$t a n^{- 1} (\frac{a + b}{1 - a b}) = \frac{π}{4}$

$\frac{a + b}{1 - a b} = 1 . . . . . . . . . . . (i)$

OR a + b = 1 – ab .(ii)

Now, $(a + b) - (\frac{a^{2} + b^{2}}{2}) + (\frac{a^{3} + b^{3}}{3}) - (\frac{a^{4} + b^{4}}{4}) + . . . . . . . .$ $\frac{^{}^{}}{} \frac{^{}^{}}{} \frac{^{}^{}}{}$

$(a - \frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{3}}{3} + \frac{a^{3}}{3} - \frac{a^{4}}{4} + . . . . . .) + (b - \frac{b^{2}}{2} + \frac{b^{3}}{3} - \frac{b^{4}}{4} + . . . . . . .)$

log (1 + a) + log(1 + b) = log (1 + a) (1 + b) = log {1 + a + b + ab} = log_e2

Given <math> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mfrac bevelled="true"> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> <math><mrow><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup><mfrac bevelled="true"><mrow></mrow><mrow></mrow></mfrac></mrow></math> <math> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac bevelled="true"> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> OR a + b = 1 – ab .(ii)Now, <math> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> </mrow> </math> <math><mrow><mrow><mrow></mrow></mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup></mrow><mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup></mrow><mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup></mrow><mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></math> <math> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> log (1 + a) + log(1 + b) = log (1 + a) (1 + b) = log {1 + a + b + ab} = loge2

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If 0 -1a + tan^-1 b =π/2 then the value of

$(a + b) - (\frac{a^{2} + b^{2}}{2}) + (\frac{a^{3} + b^{3}}{3}) - (\frac{a^{4} + b^{4}}{4}) + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i s$

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If 0 -1a + tan-1 b =π/2 then the value of ( a + b ) − ( a 2 + b 2 2 ) + ( a 3 + b 3 3 ) − ( a 4 + b 4 4 ) + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i s

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