If $A$ and $B$ are coefficients of $x^n$ in the expansions of ${\left(1+x\right)}^{2n}$ and ${\left(1+x\right)}^{2n-1}$ , respectively, then $\frac{A}{B}$

(a) 1

(b) 2

(c) $\frac{1}{2}$

(d) $\frac{1}{n}$

[Hint: $\frac{A}{B}=$ ²ⁿC_n/^{2n – 1}C_n =  2]

<p>This is a Objective Type Questions as classified in NCERT Exemplar<br><strong>Sol:</strong></p><p><span class="mathml" contenteditable="false"> <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow><mi>G</mi><mi>i</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext>expression<mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>s</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msup></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mmultiscripts> <mrow> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mprescripts></mprescripts> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mmultiscripts> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>∴</mo> <mi>C</mi> <mi>o</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> <mi>i</mi> <mi>c</mi> <mi>i</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>o</mi> <mi>f</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mmultiscripts> <mrow> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mprescripts></mprescripts> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mmultiscripts> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow><mi>I</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext>expression<mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>s</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mmultiscripts> <mrow> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mprescripts></mprescripts> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mmultiscripts> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>∴</mo> <mi>C</mi> <mi>o</mi> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> <mi>i</mi> <mi>c</mi> <mi>i</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>o</mi> <mi>f</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mmultiscripts> <mrow> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mprescripts></mprescripts> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mmultiscripts> <mo>=</mo> <mi>B</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>S</mi> <mi>o</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mfrac> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mmultiscripts> <mrow> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mprescripts></mprescripts> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mmultiscripts> </mrow> <mrow> <mmultiscripts> <mrow> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mprescripts></mprescripts> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mmultiscripts> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> <mo>×</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> <mo>×</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>:</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>H</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>c</mi> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>o</mi> <mi>p</mi> <mi>t</mi> <mi>i</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> </span></p>

0 Upvotes 0 Upvotes 0 Downvotes

• • Report Abuse
• Comment