If $A$ and $B$ are two events such that:

$P\left(A?B\right)=p$ , $P\left(A\right)=p$ , $P\left(B\right)=\frac{1}{3}$ , and $P\left(A\cup B\right)=\frac{5}{9}$ , then $p=$ _____

<p>This is a &nbsp;Fill in the Blanks Type Questions as classified in NCERT Exemplar</p><p><strong>Sol:</strong></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>9</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>/</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>p</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>⇒</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>p</mi> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>p</mi> <mo>.</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>9</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>⇒</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>9</mn> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>⇒</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>9</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>⇒</mo> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>H</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>c</mi> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>e</mi> <mi>q</mi> <mi>u</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>o</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> </span></p>

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