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This is a Long Answer type Questions as classified in NCERT Exemplar Since, a→,b→ and c→ are the vertices of ΔABC ∴ A B → = b → − a → , B C → = c → − b → a n d A c → = c → − a → ∴ A r e a o f Δ A B C = 1 2 | A B → × A C → | = 1 2 | ( b → − a → ) × ( c → − b → ) | = 1 2 | b → × c → − b → × a → − a → × c → + a → × a → | = 1 2 | b → × c → + a → × b → + c → × a → | [ ? a → × b → = − b → × a → c → × a → = − a → × c → a → × a → = 0 → ] F o r t h r e e v e c t o r s a r e c o l l i n e a r , a r e a o f Δ A B C = 0 ∴ 1 2 | b → × c → + a → × b → + c → × a → | = 0 | a → × b → + b → × c → + c → × a → | = 0 w h i c h i s t h e c o n d i t i o n o f c o l l i n e a r i t y o f a → , b → a n d c → . L e t n ^ b e t h e u n i t v e c t o r n o r m a l t o t h e p l a n e o f t h e Δ A B C ∴ n ^ = A B → × A C → | A B → × A C → | = a → × b → + b → × c → + c → × a → | a → × b → + b → × c → + c → × a → |

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Maths Class 12th Exemplar Solution Maths NCERT Exemplar Solutions Class 12th Chapter Ten

If $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ determine the vertices of a triangle, show that $\frac{1}{2} (\vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b})$ gives the $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ vector area of the triangle. Hence deduce the condition that the three points are collinear. Also, find the unit vector normal to the plane of the triangle.

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alok kumar singh | Contributor-Level 10

3 months ago

This is a Long Answer type Questions as classified in NCERT Exemplar

$\begin{array}{l} Since, \vec{a}, \vec{b} a n d \vec{c} a r e t h e v e r t i c e s o f Δ A B C \\ ∴ \vec{A B} = \vec{b} - \vec{a}, \vec{B C} = \vec{c} - \vec{b} a n d \vec{A c} = \vec{c} - \vec{a} \\ ∴ A r e a o f Δ A B C = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} | \\ = \frac{1}{2} | (\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{b}) | = \frac{1}{2} | \vec{b} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{a} | \\ = \frac{1}{2} | \vec{b} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a} | [\begin{array}{l} ? \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a} \\ \vec{c} \times \vec{a} = - \vec{a} \times \vec{c} \\ \vec{a} \times \vec{a} = \vec{0} \end{array}] \\ F o r t h r e e v e c t o r s a r e c o l l i n e a r, a r e a o f Δ A B C = 0 \\ ∴ \frac{1}{2} | \vec{b} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a} | = 0 \\ | \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} | = 0 \\ w h i c h i s t h e c o n d i t i o n o f c o l l i n e a r i t y o f \vec{a}, \vec{b} a n d \vec{c} . \\ L e t \hat{n} b e t h e u n i t v e c t o r n o r m a l t o t h e p l a n e o f t h e Δ A B C \\ ∴ \hat{n} = \frac{\vec{A B} \times \vec{A C}}{| \vec{A B} \times \vec{A C} |} = \frac{\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}}{| \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} |} \end{array}$

<div><div><picture><source srcset="" media="(max-width: 500px)"><img alt="" width="" height="" loading="lazy"></picture>This is a Long Answer type Questions as classified in NCERT Exemplar</div></div><div><div><picture><source srcset="" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1751266838phpDu4eCx.jpeg" alt="" width="256" height="226" loading="lazy"></picture></div></div><p><span contenteditable="false"> <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow>Since<mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover accent="true"><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mover accent="true"><mi>c</mi><mo>→</mo></mover><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> 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