If $a_r=cos\frac{2r\pi }{9}+isin\frac{2r\pi }{9},r=1,2,3,.....,i=\sqrt[]{-1},$ then the determinant $\left|\begin{array}{ccc}\hfill a_1\hfill & \hfill a_2\hfill & \hfill a_3\hfill \\ \hfill a_4\hfill & \hfill a_5\hfill & \hfill a_6\hfill \\ \hfill a_7\hfill & \hfill a_8\hfill & \hfill a_9\hfill \end{array}\right|$ is equal to:

 

<p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>?</mo> <msub> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>r</mi> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>9</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>∴</mo> <msub> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> </mrow> </math> </span>are in G.P.</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mtable> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <msub> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd 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