If for complex numbers $z_{1}$ and $z_{2}$ , $arg (z_{1}) - arg (z_{2}) = 0$ , then show that $? z_{1} - z_{2} ? = ? z_{1} ? ? z_{2} ?$

2 Views | Posted 3 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Payal Gupta | Contributor-Level 10

3 months ago

This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar

$\begin{array}{l} G i v e n t h a t f o r z_{1} a n d z_{2}, a r g (z_{1}) - a r g (z_{2}) = 0 \\ L e t u s r e p r e s e n t z_{1} a n d z_{2} i n p o l a r f o r m \\ z_{1} = r_{1} (c o s θ_{1} + i s i n θ_{1}) a n d z_{2} = r_{2} (c o s θ_{2} + i s i n θ_{2}) \\ a r g (z_{1}) = θ_{1} a n d a r g (z_{2}) = θ_{2} \\ Since a r g (z_{1}) - a r g (z_{2}) = 0 \\ \Rightarrow θ_{1} - θ_{2} = 0 \Rightarrow θ_{1} = θ_{2} \\ N o w z_{1} - z_{2} = r_{1} (c o s θ_{1} - i s i n θ_{1}) - r_{2} (c o s θ_{2} + i s i n θ_{2}) \\ = r_{1} c o s θ_{1} - i r_{1} s i n θ_{1} - r_{2} c o s θ_{1} + i r_{2} s i n θ_{1} [? θ_{1} = θ_{2}] \\ = (r_{1} c o s θ_{1} - r_{2} c o s θ_{1}) + i (r_{1} s i n θ_{1} - r_{2} s i n θ_{1}) \\ ∴ | z_{1} - z_{2} | = \sqrt[]{{(r_{1} c o s θ_{1} - r_{2} c o s θ_{1})}^{2} + {(r_{1} s i n θ_{1} - r_{2} s i n θ_{1})}^{2}} \\ = \sqrt[]{(r_{1}^{2} c o s^{2} θ_{1} + r_{2}^{2} c o s^{2} θ_{1} - 2 r_{1} r_{2} c o s^{2} θ_{1} + r_{1}^{2} s i n^{2} θ_{1} + r_{2}^{2} s i n^{2} θ_{1} - 2 r_{1} r_{2} s i n^{2} θ_{1})} \\ = \sqrt[]{r_{1}^{2} (c o s^{2} θ_{1} + s i n^{2} θ_{1}) + r_{2}^{2} (c o s^{2} θ_{1} + s i n^{2} θ_{1}) - 2 r_{1} r_{2} (c o s^{2} θ_{1} + s i n^{2} θ_{1})} \\ = \sqrt[]{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2}} = \sqrt[]{{(r_{1} - r_{2})}^{2}} = r_{1} - r_{2} = | z_{1} | - | z_{2} | \\ H e n c e, | z_{1} - z_{2} | = | z_{1} | - | z_{2} | \end{array}$

This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>L</mi> <mi>e</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>u</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>p</mi> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>s</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> <mi>o</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mi>m</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow>Since<mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>g</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>g</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>⇒</mo> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>⇒</mo> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>N</mi> <mi>o</mi> <mi>w</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mo>?</mo> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>∴</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>H</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>c</mi> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math>

0 Upvotes 0 Downvotes

Get authentic answers from experts, students and alumni that you won't find anywhere else

On Shiksha, get access to

65k Colleges
1.2k Exams
688k Reviews
1800k Answers

Community GuidelinesUser Points System

QuestionsDiscussionsTags

If for complex numbers $z_{1}$ and $z_{2}$ , $arg (z_{1}) - arg (z_{2}) = 0$ , then show that $? z_{1} - z_{2} ? = ? z_{1} ? ? z_{2} ?$

1 Answer

Learn more about...

Most viewed information

Share Your College Life Experience

Didn't find the answer you were looking for?

Need guidance on career and education? Ask our experts

Your Question

If for complex numbers z 1 and z 2 , arg (z1)−arg(z2)=0 , then show that ? z 1 − z 2 ? = ? z 1 ? ? z 2 ?

1 Answer

Learn more about...

Most viewed information

Share Your College Life Experience

Didn't find the answer you were looking for?

Need guidance on career and education? Ask our experts

Your Question

If for complex numbers $z_{1}$ and $z_{2}$ , $arg (z_{1}) - arg (z_{2}) = 0$ , then show that $? z_{1} - z_{2} ? = ? z_{1} ? ? z_{2} ?$