If the tangent to the curve y = x3 at the point P(t, t3) meets the curve again at Q, then the ordinate of the point which divides PQ internally in the ratio 1:2 is:

y = x3 d y d x = 3 x 2 ⇒ d y d x | ( t , t 3 ) = 3 t 2 Equation of tangent y – t3 = 3t2 (x – t) Let again meet the curve at Q ( t 1 , t 1 3 )  ⇒ t 1 3 − t 3 = 3 t 2 ( t 1 − t )  t 1 2 + t t 1 + t 2 = 3 t 2 [ ? t 1 ≠ t ]  t 1 2 + t t 1 − 2 t 2 = 0  ->t1 = -2tRequired ordinate = 2 t 3 + t 1 3 3 = 2 t 3 − 8 t 3 3 = − 2 t 3

Ask & Answer Question

Maths NCERT Exemplar Solutions Class 11th Chapter Eleven Maths Class 12th Maths Applications of Derivatives

If the tangent to the curve y = x³ at the point P(t, t³) meets the curve again at Q, then the ordinate of the point which divides PQ internally in the ratio 1:2 is:

Option 1 -

Option 2 -

-t³

Option 3 -

-2t³

Option 4 -

2t³

2 Views | Posted 3 weeks ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

alok kumar singh | Contributor-Level 10

3 weeks ago

Correct Option - 3

Detailed Solution:

y = x³

${\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} \Rightarrow \frac{d y}{d x} |}_{(t, t^{3})} = 3 t^{2}$

Equation of tangent y – t³ = 3t² (x – t)

Let again meet the curve at $Q (t_{1}, t_{1}^{3})$

$\Rightarrow t_{1}^{3} - t^{3} = 3 t^{2} (t_{1} - t)$

$t_{1}^{2} + t t_{1} + t^{2} = 3 t^{2} [? t_{1} \neq t]$

$t_{1}^{2} + t t_{1} - 2 t^{2} = 0$

->t₁ = -2t

Required ordinate = $\frac{2 t^{3} + t_{1}^{3}}{3} = \frac{2 t^{3} - 8 t^{3}}{3} = - 2 t^{3}$

y = x3 <math> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⇒</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <msup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math>           Equation of tangent y – t3 = 3t2 (x – t)  Let again meet the curve at <math> <mrow> <mi>Q</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math>   <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <msubsup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <msup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math>            <math> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <msub> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <msup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mtext> </mtext> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mo>?</mo> <msub> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </math>            <math> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <msub> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </math>            ->t1 = -2tRequired ordinate = <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>8</mn> <msup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math>