If U_n = $(1 + \frac{1}{n^{2}}) {(1 + \frac{2^{2}}{n^{2}})}^{2} . . . . . . {(1 + \frac{n^{2}}{n^{2}})}^{n}, t h e n \underset{n \to \infty}{l i m} {(U_{n})}^{\frac{- 4}{n^{2}}}$ is equal to

Option 1 -

$\frac{4}{e}$

Option 2 -

$\frac{16}{e^{2}}$

Option 3 -

$\frac{4}{e^{2}}$

Option 4 -

$\frac{e^{2}}{16}$

2 Views | Posted 2 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

2 months ago

Correct Option - 4

Detailed Solution:

$l = \underset{n \to \infty}{l i m} {(u_{n})}^{\frac{- 4}{n^{2}}} = \underset{n \to \infty}{l i m} {(1 + \frac{1}{n^{2}}) {(1 + \frac{2^{2}}{n^{2}})}^{2} {(1 + \frac{3^{2}}{n^{2}})}^{3} . . . . . . {(1 + \frac{n^{2}}{n^{2}})}^{n}}^{\frac{- 4}{n^{2}}},$ Taking log on both the sides

$\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{- 4}{n^{2}} \sum_{r = 1}^{n} r l o g (1 + \frac{r^{2}}{n^{2}}) = \underset{n \to \infty}{l i m} \frac{- 4}{n} \sum_{r = 1}^{n} \frac{r}{n} l o g (1 + {(\frac{r}{n})}^{2})$

$∴ l o g l = - 4 \int_{0}^{1} x l o g (1 + x^{2}) d x$

$l o g l = - 2 [l o g 4 - 1] = - 2 l o g \frac{4}{e} = l o g \frac{e^{2}}{16}$

$l = \frac{e^{2}}{16}$

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If U_n = $(1 + \frac{1}{n^{2}}) {(1 + \frac{2^{2}}{n^{2}})}^{2} . . . . . . {(1 + \frac{n^{2}}{n^{2}})}^{n}, t h e n \underset{n \to \infty}{l i m} {(U_{n})}^{\frac{- 4}{n^{2}}}$ is equal to

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