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If y = y(x) $\in$ (0, (π)/2) be the solution curve of the differential equation $(s i n^{2} 2 x) \frac{d y}{d x} + (3 s i n^{2} 2 x + 2 s i n 4 x) y = 2 e^{- 4 x} (2 s i n 2 x + c o s 2 x),$ $^{} \frac{}{}^{}^{}$ with y((π)/4) = e, then y((π)/6) is equal to:

Option 1 -

$\frac{2}{\sqrt[]{3}} e^{- 2 π / 3}$

Option 2 -

$\frac{2}{\sqrt[]{3}} e^{2 π / 3}$

Option 3 -

$\frac{1}{\sqrt[]{3}} e^{- 2 π / 3}$

Option 4 -

$\frac{1}{\sqrt[]{3}} e^{2 π / 3}$

4 Views | Posted 2 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

2 months ago

Correct Option - 1

Detailed Solution:

If y = y(x), $x \in (0, \frac{π}{2})$ $\frac{}{}$ be the solution curve of the different equation

$∴ \frac{d y}{d x} + (8 + 4 c o t 2 x) y = \frac{2 e^{- 4 x}}{s i n^{2} 2 x} (2 s i n x + c o s 2 x)$ which is a linear different equation

I.F = $e^{\int (8 + 4 c o t 2 x) d x} = e^{8 x + 2 c o s (s i n 2 x)} = e^{8 x} . s i n^{2} 2 x$ $^{}^{}^{}^{}$

Given, $y (\frac{π}{4}) = e^{- π} \Rightarrow c = 0$ $\frac{}{}^{}$

$∴ y = \frac{e^{- 4 x}}{s i n 2 x}$

$∴ y (\frac{π}{6}) = \frac{e^{- 4 \frac{π}{6}}}{s i n (2 . \frac{π}{6})} = \frac{2}{\sqrt[]{3}} e^{\frac{2 π}{3}}$

If y = y(x), <math> <mrow> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> <math><mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow></mrow><mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></math> be the solution curve of the different equation<math><mrow><mfrac><mrow></mrow></mfrac></mrow></math> <math> <mrow> <mo>∴</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>8</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>t</mi> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math>  which is a linear different equationI.F = <math> <mrow> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <mo>∫</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>8</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>t</mi> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </math> <math><mrow><msup><mrow></mrow><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><mrow><mrow><mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow></msup><msup><mrow></mrow><mrow><mrow><mrow></mrow></mrow></mrow></msup><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup></mrow></math>Given, <math> <mrow> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mi>π</mi> </mrow> </msup> <mo>⇒</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </math> <math><mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow></mrow><mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup></mrow></math> <math> <mrow> <mo>∴</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> <math> <mrow> <mo>∴</mo> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mo>.</mo> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mfrac> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> </math>

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If y = y(x) $\in$ (0, (π)/2) be the solution curve of the differential equation $(s i n^{2} 2 x) \frac{d y}{d x} + (3 s i n^{2} 2 x + 2 s i n 4 x) y = 2 e^{- 4 x} (2 s i n 2 x + c o s 2 x),$ $^{} \frac{}{}^{}^{}$ with y((π)/4) = e, then y((π)/6) is equal to:

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If y = y(x) ∈ (0, (π)/2) be the solution curve of the differential equation ( s i n 2 2 x ) d y d x + ( 3 s i n 2 2 x + 2 s i n 4 x ) y = 2 e − 4 x ( 2 s i n 2 x + c o s 2 x ) , with y((π)/4) = e, then y((π)/6) is equal to:

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