If y = y(x) is the solution of the equation esin y $cosy\frac{dy}{dx}+e^{siny}cosx=cosx,y\left(0\right)=0;$ then $1+y\left(\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\sqrt[]{3}}{2}y\left(\frac{\pi }{3}\right)+\frac{1}{\sqrt[]{2}}y\left(\frac{\pi }{4}\right)$ is equal to----------.

<p><math><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>y</mi></mrow></msup><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>y</mi><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>y</mi></mrow></msup><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi></mrow></math></p><p>Put esin y = t</p><p><math><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>y</mi></mrow></msup><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>y</mi><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>∴</mo><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>t</mi><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi></mrow></math></p><p><math><mrow><mi>I</mi><mo>.</mo><mi>F</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><mo>∫</mo><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>∴</mo><mi>t</mi><mtext> </mtext><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>x</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><mrow><mo>∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>x</mi></mrow></msup><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow></math></p><p>Put sin x = u, cos xdx = du</p><p><math><mrow><mo>∴</mo><mi>p</mi><mi>u</mi><mi>t</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>, </mo><mi>y</mi><mrow><mo> (</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>, </mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>⇒</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>∴</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>0</mn><mo>+</mo><mn>0</mn><mo>+</mo><mn>0</mn><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></p>

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