If $\frac{z - 1}{z + 1}$ is a purely imaginary number ( $z \neq - 1$ ), then find the value of $? z ?$ .

2 Views | Posted 3 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Payal Gupta | Contributor-Level 10

3 months ago

This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar

$\begin{array}{l} G i v e n t h a t : \frac{z - 1}{z + 1} i s p u r e l y i m a g i n a r y n u m b e r . \\ L e t z = x + y i \\ ∴ \frac{x + y i - 1}{x + y i + 1} = \frac{(x - 1) + i y}{(x + 1) + i y} = \frac{(x - 1) + i y}{(x + 1) + i y} \times \frac{(x + 1) - i y}{(x + 1) - i y} \\ \Rightarrow \frac{(x - 1) (x + 1) - i y (x - 1) + (x + 1) i y - i^{2} y^{2}}{{(x + 1)}^{2} - i^{2} y^{2}} \\ \Rightarrow \frac{x^{2} - 1 + i y (x + 1 - x + 1) + y^{2}}{x^{2} + 1 + 2 x + y^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2} - 1 + 2 y i}{x^{2} + y^{2} + 2 x + 1} \\ \Rightarrow \frac{x^{2} + y^{2} - 1}{x^{2} + y^{2} + 2 x + 1} + \frac{2 y}{x^{2} + y^{2} + 2 x + 1} i \\ Since, t h e n u m b e r i s p u r e l y i m a g i n a r y, t h e n r e a l p a r t = 0 \\ ∴ \frac{x^{2} + y^{2} - 1}{x^{2} + y^{2} + 2 x + 1} = 0 \\ \Rightarrow x^{2} + y^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 1 \\ \Rightarrow \sqrt[]{x^{2} + y^{2}} = 1 ∴ | z | = 1 \end{array}$

This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mo>:</mo> <mfrac> <mrow> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> <mi>u</mi> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>l</mi> <mi>y</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>y</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> <mi>u</mi> <mi>m</mi> <mi>b</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>L</mi> <mi>e</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> 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If z − 1 z + 1 is a purely imaginary number ( z ≠ − 1 ), then find the value of ? z ? .

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