Kindly consider the following

$\int^{\frac{π}{2}} (\frac{t a n x d x}{1 + m^{2} t a n^{2} x})$

3 Views | Posted 3 months ago

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Answered by

alok kumar singh | Contributor-Level 10

3 months ago

This is a Short answer type Questions as classified in NCERT Exemplar

Sol:

$\begin{array}{l} L e t I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{t a n x}{1 + m^{2} t a n^{2} x} d x \\ I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\frac{s i n x}{c o s x}}{1 + m^{2} \frac{s i n^{2} x}{c o s^{2} x}} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\frac{s i n x}{c o s x}}{\frac{c o s^{2} x + m^{2} s i n^{2} x}{c o s^{2} x}} d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{s i n x c o s x}{c o s^{2} x + m^{2} s i n^{2} x} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{s i n x c o s x}{1 - s i n^{2} x + m^{2} s i n^{2} x} d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{s i n x c o s x}{1 - s i n^{2} x + (1 - m^{2})} d x \\ P u t s i n^{2} x = t \\ 2 s i n x c o s x d x = d t \\ s i n x c o s x d x = \frac{d t}{2} \\ C h a n g i n g t h e limits w e g e t, \\ W h e n x = 0 ∴ t = s i n^{2} 0 = 0; w h e n x = \frac{π}{2} ∴ t = s i n^{2} \frac{π}{2} = 1 \\ ∴ I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + (m^{2} - 1) t} = \frac{1}{2} {[\frac{l o g [1 + (m^{2} - 1) t]}{m^{2} - 1}]}_{0}^{1} \\ = \frac{1}{2 (m^{2} - 1)} [l o g (1 + m^{2} - 1) - l o g (1)] = \frac{l o g | m^{2} |}{2 (m^{2} - 1)} \\ H e n c e, I = \frac{l o g | m^{2} |}{2 (m^{2} - 1)} = \frac{l o g | m |}{m^{2} - 1} . \end{array}$

This is a Short answer type Questions as classified in NCERT ExemplarSol: <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>L</mi> <mi>e</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </munderover> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> 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