Kindly consider the following

$\int \frac{x+3}{{\left(x+4\right)}^2}{e}^x dx$ =_______.

<p>This is a &nbsp;Fill in the Blanks type Questions as classified in NCERT Exemplar</p><p><strong>Sol:</strong></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>L</mi> <mi>e</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <mo>∫</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>&nbsp;</mo> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <mo>∫</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>&nbsp;</mo> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <mo>∫</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>.</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>&nbsp;</mo> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> <mo>=</mo> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <mo>∫</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>.</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>&nbsp;</mo> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>P</mi> <mi>u</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>⇒</mo> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>L</mi> <mi>e</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>∴</mo> <msup> <mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mo>'</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow>Using<mtext> </mtext><mtext> </mtext><mstyle displaystyle="true"><mrow><mo>∫</mo><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup><mrow><mo>[</mo><mrow><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mo>'</mo></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>=</mo></mrow></mrow></mstyle><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mi>C</mi></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>∴</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>H</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>c</mi> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> </span></p>

0 Upvotes 0 Upvotes 0 Downvotes

• • Report Abuse
• Comment