$\underset{x \to 0}{l i m} \frac{c o s^{- 1} (1 - {x}^{2}) s i n^{- 1} (1 - {x})}{{x} - {x}^{3}}$ , where {} is fractional part function.

If L .H.L = L and R.H. L = R, then the correct relation between L and R is

Option 1 -

$\sqrt[]{2}$ R = 4L

Option 2 -

$\sqrt[]{2}$ L = 4R

Option 3 -

R = L

Option 4 -

R = 2L

2 Views | Posted a week ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

alok kumar singh | Contributor-Level 10

a week ago

Correct Option - 1

Detailed Solution:

RHL $\underset{x \to 0^{+}}{l i m} \frac{c o s^{- 1} (1 - x^{2}) s i n^{- 1} (1 - x)}{x - x^{3}}$

$\underset{x \to 0^{+}}{l i m} \frac{π}{2} \cdot \frac{c o s^{- 1} (1 - x^{2})}{x}$

$\frac{π}{2} \underset{x \to 0^{+}}{l i m} \frac{- 1}{\sqrt[]{{(1 - (1 - x^{2}))}^{2}}} (- 2 x)$

$= \frac{π}{2} \underset{x \to 2^{+}}{l i m} \frac{2 x}{\sqrt[]{2 x^{2} - x^{4}}} = π \underset{x \to 0^{+}}{l i m} \frac{x}{x \sqrt[]{2 - x^{2}}}$

$= \frac{π}{\sqrt[]{2}}$

LHL $\underset{x \to 0^{+}}{l i m} \frac{c o s^{- 1} (1 - {(1 + x)}^{2}) s i n^{- 1} (1 - (1 + x))}{1 \cdot (1 - {(1 + x)}^{2})}$

$= \underset{x \to 0^{-}}{l i m} \frac{c o s^{- 1} (- x^{2} - 2 x), s i n^{- 1} (- x)}{- x^{2} - 2 x}$

$= \frac{π}{2} \underset{x \to 0^{-}}{l i m} \frac{- s i n^{- 1} x}{- x (x + 2)} = \frac{π}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{π}{2}$

RHL <math> <mrow> <munder> <mrow> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>→</mo> <msup> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mrow> </munder> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>  <math> <mrow> <munder> <mrow> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>→</mo> <msup> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mrow> </munder> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> 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$\underset{x \to 0}{l i m} \frac{c o s^{- 1} (1 - {x}^{2}) s i n^{- 1} (1 - {x})}{{x} - {x}^{3}}$ , where {} is fractional part function.

If L .H.L = L and R.H. L = R, then the correct relation between L and R is

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l i m x → 0 c o s − 1 ( 1 − { x } 2 ) s i n − 1 ( 1 − { x } ) { x } − { x } 3 , where {} is fractional part function. If L .H.L = L and R.H. L = R, then the correct relation between L and R is

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$\underset{x \to 0}{l i m} \frac{c o s^{- 1} (1 - {x}^{2}) s i n^{- 1} (1 - {x})}{{x} - {x}^{3}}$ , where {} is fractional part function.

If L .H.L = L and R.H. L = R, then the correct relation between L and R is