Le A be 3 × 3 real matrix such that $A\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right);A\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\hfill -1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)andA\left(\begin{array}{ccc}\hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill \end{array}\right)$ .

If x = (x₁, x₂, x₃)^T and I is an identity matrix of order 3, then the system (A – 2I)X = $\left(\begin{array}{ccc}\hfill 4\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$  has:

<p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> </span><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mtable> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mn>1</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>1</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mn>1</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>0</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mn>0</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>1</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mtable> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mn>1</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mn>1</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>0</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mn>0</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>1</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mo>⇒</mo> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <msup> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>l</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>4</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></p><p>= 4 – 3 – 1 = 0</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⇒</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="script">l</mi> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>4</mn> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mi mathvariant="script">l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </math> </span></p>

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