Le aa₁, a₂, a₃,…… be an A.P. If ${\displaystyle \sum _{r=1}^{\infty }\frac{a_r}{2^r}=4,}$ then 4a₂ is equal to……

<p>&nbsp;<math><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>∞</mo></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>, </mo><mn>4</mn><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>d</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>? </mo></mrow></mstyle></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>⇒</mo><mi>a</mi><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>∞</mo></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mi>d</mi><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>∞</mo></mrow></munderover><mrow><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><msup><mrow><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mn>4</mn></mrow></mstyle></mrow></mstyle></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>=</mo><msup><mrow><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>∞</mo></mrow></munderover><mrow><mi>k</mi><msup><mrow><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mstyle></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mrow><mo> (</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></math></p><p>= 1</p><p>a + d = 4</p><p>4 (a + d) = 16</p>

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