Let A = $(\begin{matrix} 2 & - 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$ and B = $(\begin{matrix} - 1 & 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) .$ Then the number of elements in the set ${(n, m) : n, m \in {1, 2, . . . . . . . . 10} a n d n A^{n} + m B^{m} = I} i s . . . . . . . .$

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alok kumar singh | Contributor-Level 10

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$A = [\begin{matrix} 2 & - 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix}]$ $B^{2} = [\begin{matrix} - 1 & 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} - 1 & 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix}]$

$B = [\begin{matrix} - 1 & 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix}]$ $= [\begin{matrix} - 1 & 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] = B$

$A^{2} = [\begin{matrix} 2 & - 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 & - 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix}]$ $\Rightarrow . . . . . B^{3} = B^{2} = B \Rightarrow B^{n} = B$

$= [\begin{matrix} 2 & - 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] = A$

$\Rightarrow . . . = A^{3} = A^{2} = A \Rightarrow A^{n} = A$

$n A^{n} + m B^{m} = l \Rightarrow n A + m B = l$

$[\begin{matrix} 2 n & - 2 n \\ n & - n \end{matrix}] + [\begin{matrix} - m & 2 m \\ - m & 2 m \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

$\Rightarrow 2 n - m = 1$ n – m = 0 ->n = m = 1

-2n + 2m = 0 -n + 2m = 1

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Let A = $(\begin{matrix} 2 & - 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$ and B = $(\begin{matrix} - 1 & 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) .$ Then the number of elements in the set ${(n, m) : n, m \in {1, 2, . . . . . . . . 10} a n d n A^{n} + m B^{m} = I} i s . . . . . . . .$

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Let A = ( 2 − 2 1 − 1 ) and B = ( − 1 2 − 1 2 ) . Then the number of elements in the set { ( n , m ) : n , m ∈ { 1 , 2 , . . . . . . . . 1 0 } a n d n A n + m B m = I } i s . . . . . . . .

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