Let a, b, c, d be in arithmetic progression with common difference   $\lambda .$

If $\left|\begin{array}{ccc}\hfill x+a-c\hfill & \hfill x+b\hfill & \hfill x+a\hfill \\ \hfill x-1\hfill & \hfill x+c\hfill & \hfill x+b\hfill \\ \hfill x-b+d\hfill & \hfill x+d\hfill & \hfill x+c\hfill \end{array}\right|=2$ , then the value of ${\lambda }^2$  is equal to…………..

<p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>→</mo> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>→</mo> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>Δ</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mtable> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>d</mi> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>→</mo> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;</mo> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>→</mo> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>Δ</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mtable> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>2</mn> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>c</mi> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>2</mn> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>d</mi> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mi>c</mi> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mtable> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mo>−</mo> <mi>λ</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>0</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mo>−</mo> <mi>λ</mi> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mo>−</mo> <mi>λ</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>0</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mo>−</mo> <mi>λ</mi> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mi>λ</mi> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>→</mo> <mi>R</mi> <msub> <mrow> <malignmark></malignmark> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mtable> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mn>2</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>0</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mo>−</mo> <mi>λ</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mn>0</mn> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mo>−</mo> <mi>λ</mi> </mtd> </mtr> <mtr columnalign="center"> <mtd columnalign="center"> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mi>λ</mi> </mtd> <mtd columnalign="center"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>⇒</mo> <msup> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </math> </span></p>

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