Let a be root of the equation 1 + x² + x⁴ = 0. Then the value of a¹⁰¹¹ + a²⁰²² - a³⁰³³ is equal to:

<p>x⁴ + x² + 1 = 0</p><p>x⁴ + 2x² + 1 – x² = 0</p><p>&nbsp;<span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </math> </span></p><p>&nbsp;<span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>±</mo> <mi>ω</mi> <mo>, </mo> <mtext> </mtext> <mo>? </mo> <msup> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math> </span></p><p>Now, = <span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msup> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mn>0</mn> <mn>1</mn> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mn>0</mn> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mn>0</mn> <mn>3</mn> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math> </span>&nbsp;</p><p>= <span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msup> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mn>0</mn> <mn>1</mn> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mn>0</mn> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mn>0</mn> <mn>3</mn> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math> </span>&nbsp;</p><p>= 1 + 1 – 1 = 1</p>

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