Let c_r denote the binomial coefficient of x^r in the expansion of (1 + x)¹⁰. If for a, b $\in R,$ c₁ + 3.2C₂ + 5.3C₃ + ….upto 10 terms = $\frac{\alpha \times 2^{11}}{2^{\beta }-1}\left(C_0+\frac{C_1}{2}+\frac{C_2}{3}+....upto10terms\right)$  then the value of a + b is equal to………..

<p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mn>0</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>k</mi> <msup> <mrow> <mo>.</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>∑</mo> <msup> <mrow> <msup> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mn>1</mn> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mo>∑</mo> <mi>k</mi> <msup> <mrow> <mo>.</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⇒</mo> <mstyle displaystyle="true"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mn>0</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </mstyle> <msup> <mrow> <mo>.</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mn>0</mn> <mo>.</mo> <msup> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>9</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⇒</mo> <mo>∑</mo> <msup> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mtext> </mtext> <msup> <mrow> <mtext> </mtext> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>9</mn> <mn>0</mn> <mo>.</mo> <msup> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mn>0</mn> <mo>.</mo> <msup> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>9</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mn>9</mn> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mn>0</mn> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> <mn>1</mn> <mn>1</mn> <mn>0</mn> </mrow> </math> </span></p><p>S = 2⁹ . 110 – 10.2⁹ = 2⁹ . 100</p><p>S = 2⁹ . 100</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> <mn>2</mn> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> </span></p>

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