Let f and g be twice differentiable even functions on (-2, 2) such that $f\left(\frac{1}{4}\right)=0,f\left(\frac{1}{2}\right)=0,f\left(1\right)=1$ and $f\left(\frac{3}{4}\right)=0,g\left(1\right)=2$  

Then, the minimum number of solutions of  $f\left(x\right)g"\left(x\right)+f\text{'}\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)=0in\left(-2,2\right)$  is equal to……….

<p>f (x) is an even function</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </math> </span>&nbsp;</p><p>So, f (x) has at least four roots in (-2, 2)</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </math> </span>&nbsp;</p><p>So, g (x) has at least two roots in (-2, 2)</p><p>now number of roots of f (x)<span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>⋅</mo> <mi>g</mi> <mo>"</mo> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>'</mo> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>g</mi> <mo>'</mo> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </math> </span>&nbsp;</p><p>It is same as number of roots of&nbsp;<span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>g</mi> <mo>'</mo> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </math> </span>will have atleast 4 roots in (-2, 2)</p>

0 Upvotes 0 Upvotes 0 Downvotes

• • Report Abuse
• Comment