Let f be any function defined on R and let it satisfy the conditions:

$\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\le \left|{\left(x-y\right)}^2\right|,\forall \left(x,y\right)\in R$

If f (0) = 1, then

<p><math><mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><mi>f</mi><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mi>f</mi><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>≤</mo><mrow><mo>|</mo><mrow><msup><mrow><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></math></p><p><math><mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>f</mi><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mi>f</mi><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi></mrow></math></p><p>Taking the limit y x on both sides</p><p><math><mrow><munder><mrow><mi>L</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>y</mi><mo>→</mo><mi>x</mi></mrow></munder><mrow><mo>|</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>f</mi><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mi>f</mi><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>y</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>≤</mo><munder><mrow><mi>L</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>y</mi><mo>→</mo><mi>x</mi></mrow></munder><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math></p><p><math><mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><mi>f</mi><mo>'</mo><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>≤</mo><mn>0</mn></mrow></math></p><p>Hence, modulus cannot be zero. Hence f’ (x) = 0. Integrating, we get f (x) = c</p><p>at x = 0, f (0) = c = 1</p><p><math><mrow><mo>∴</mo><mi>f</mi><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>&gt;</mo><mn>0</mn><mo>, </mo><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>R</mi></mrow></math></p><p>Hence, option (A) is correct option.</p>

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