Let f(x) be a polynomial function such that f(x) + f’(x) + f”(x) = x⁵ + 64. Then, the value of $\underset{x\to 1}{lim}\frac{f\left(x\right)}{x-1}$  is equal to :

<p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mo>'</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mo>'</mo> <mo>'</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mn>4</mn> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <munder> <mrow> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>→</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </math> </span></p><p>Let f(x) = x⁵ + ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e</p><p>&nbsp; f(1) = 0 Þ 1 + a + b + c + d + e = 0</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mn>5</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>b</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mn>4</mn> </mrow> </math> </span>&nbsp;</p><p>&nbsp;Þ e + d + 2c = 64</p><p>b + 4a + 20 = 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; c – 1 – a – b = 64</p><p>c + 3b + 12a = 0</p><p>d + 2c + 6b = 0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; a + b – c = -65</p><p>1 + a + b + c + d + e = 0&nbsp;&nbsp; <u>13a + 4b = </u><u>-65</u></p><p>b + 4c = -20 × 4</p><p>-3a = 15 a = -5</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>5</mn> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mn>0</mn> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mn>2</mn> <mn>0</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mn>4</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>f</mi> <mo>'</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>5</mn> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mn>0</mn> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mn>2</mn> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>f</mi> <mo>'</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>5</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mn>2</mn> <mn>0</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mn>2</mn> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mn>5</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> </span>&lt;!--[endif]--&gt;&lt;!-- [if gte mso 9]>&lt;xml&gt; <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1026" DrawAspect="Content" ObjectID="_1818945277"> </o:OLEObject>&lt;/xml&gt;&lt;![endif]--&gt;</p>

0 Upvotes 0 Upvotes 0 Downvotes

• • Report Abuse
• Comment