Let $\mathcal{l}$  be a line which is normal to the curve y = 2x² + x + 2 at a point P on the curve. If the point Q(6, 4) lies on the line $\mathcal{l}$  and O is origin, then the area of the triangle OPQ is equal to………

$y=2x^2+x+2....(i)$

$\frac{dy}{dx}=4x+1$

Slope of normal

$-\frac{dx}{dy}=-\frac{1}{4x+1}$

Equation of PQ y - b = $-\frac{1}{4\alpha +1}\left(x-\alpha \right)$  

It passes (6, 4)

$\Rightarrow \left(4-\beta \right)\left(4\alpha +1\right)=-\left(6-\alpha \right)$

$4{\alpha }^3+3{\alpha }^2-3\alpha -3=0$

<div class="photo-widget-full"><div class="figure"><div><div><picture><source srcset="" media=" (max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1757996902phpUOjLNr.jpeg" alt="" width="265" height="186" loading="lazy"></picture></div></div><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo stretchy="false"> (</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </math> </span></p><p>Slope of normal</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> </span></p><p>Equation of PQ y - b =<span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> </span>&nbsp;</p><p>It passes (6, 4)</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mn>4</mn> <mo>−</mo> <mi>β</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mn>4</mn> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mn>6</mn> <mo>−</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <msup> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mi>α</mi> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </math> </span></p></div></div>

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