Let $P_1:\overrightarrow{r}.\left(2\widehat{i}+\widehat{j}-3\widehat{k}\right)=4$ be a plane. Let P₂ be another plane which passes through the points $\left(2,-3,2\right),\left(2,-2,-3\right)and\left(1,-4,2\right)$ . If the direction ratios of the line of intersection of P₁ and P₂ be 16, , then the value of + is equal to……………

<p>2x + y – 3z = 4</p><p><math><mrow><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mrow><mtable><mtr columnalign="center"><mtd columnalign="center"><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mtd><mtd columnalign="center"><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mtd><mtd columnalign="center"><mi>z</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr columnalign="center"><mtd columnalign="center"><mn>0</mn></mtd><mtd columnalign="center"><mn>1</mn></mtd><mtd columnalign="center"><mo>−</mo><mn>5</mn></mtd></mtr><mtr columnalign="center"><mtd columnalign="center"><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd><mtd columnalign="center"><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd><mtd columnalign="center"><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></p><p><math><mrow><msub><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>:</mo><mo>−</mo><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mn>3</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></p><p>now line lying in both the planes have DR.</p><p><math><mrow><mfrac><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>1</mn><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>5</mn><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>0</mn><mo>+</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac></mrow></math></p><p><math><mrow><mfrac><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>6</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>5</mn></mrow></mfrac></mrow></math></p><p>So direction ratio’s a : b : c = 16 : 13 : 15</p><p><math><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>f</mi><mo>'</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>'</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math></p><p><math><mrow><mi>f</mi><mo>'</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>f</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>e</mi><mi>q</mi><mi>u</mi><mi>a</mi><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>o</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math></p><p><math><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>f</mi><mo>'</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math></p><p><math><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>d</mi></mrow></math></p><p>f(0) = 0</p><p><math><mrow><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>x</mi></mrow></math></p><p>c = 3/2</p><p><math><mrow><mi>f</mi><mo>"</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>2</mn><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>c</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math></p><p><math><mrow><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>x</mi></mrow></math></p><p>now&nbsp;<math><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mn>0</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><mn>0</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mn>0</mn><mo>⋅</mo><mn>2</mn><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>⋅</mo><mfrac><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>8</mn><mn>2</mn><mo>−</mo><mn>1</mn><mn>5</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></math></p><p>now&nbsp;<math><mrow><mn>2</mn><mrow><mo>|</mo><mrow><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mn>0</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>|</mo></mrow></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mn>0</mn><mo>⋅</mo><mn>2</mn><mn>1</mn><mo>⋅</mo><mn>9</mn><mn>7</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>3</mn><mn>3</mn><mn>9</mn><mn>5</mn></mrow></math></p>

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