Let $S_{n}$ denote the sum of the cubes of the first $n$ natural numbers and $s_{n}$ denote the sum of the first $n$ natural numbers. Then

$\frac{1}{S_{n}} \sum_{r = 1} r^{3} s_{r} =$

(a) $\frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}$

(b) $\frac{n (n + 1)}{2}$

(c) $\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6}$

(d) None of these

2 Views | Posted 4 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

alok kumar singh | Contributor-Level 10

4 months ago

This is an Objective Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Sol:

$\begin{array}{l} G i v e n t h a t \sum_{i = 1}^{n} \frac{S_{r}}{s_{r}} = \frac{S_{1}}{s_{1}} + \frac{S_{2}}{s_{2}} + \frac{S_{3}}{s_{3}} + \dots + \frac{S_{n}}{s_{n}} \\ L e t T_{n} b e t h e n t h t e r m o f t h e a b o v e s e r i e s \\ ∴ T_{n} = \frac{S_{n}}{s_{n}} = \frac{{[\frac{n (n + 1)}{2}]}^{2}}{\frac{n (n + 1)}{2}} = \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{n^{2} + n}{2} \\ N o w s u m o f t h e g i v e n s e r i e s \\ \sum_{}^{} T_{n} = \frac{1}{2} \sum_{}^{} [n^{2} + n] = \frac{1}{2} [\sum_{}^{} n^{2} + \sum_{}^{} n] \\ = \frac{1}{2} [\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + \frac{n (n + 1)}{2}] \\ = \frac{1}{2} . \frac{n (n + 1)}{2} [\frac{2 n + 1}{3} + 1] = \frac{n (n + 1)}{4} [\frac{2 n + 1 + 3}{3}] \\ = \frac{n (n + 1)}{4} . \frac{(2 n + 4)}{3} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} \\ H e n c e, t h e c o r r e c t o p t i o n i s (a) . \end{array}$

This is an Objective Type Questions as classified in NCERT ExemplarSol: <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>G</mi> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mstyle displaystyle="true"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> 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Let S n denote the sum of the cubes of the first n natural numbers and s n denote the sum of the first n natural numbers. Then 1 S n ∑ r = 1 r 3 s r = (a) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 6 (b) n ( n + 1 ) 2 (c) 2 n 3 + 3 n 2 + n 6 (d) None of these