Let the solution curve of the differential equation

$x\frac{dy}{dx}-y=\sqrt[]{y^2+16x^2},y\left(1\right)=3bey=y\left(x\right).$ Then y(2) is equal to:

<p>&nbsp;<math><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn><mn>6</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></math></p><p>Put y =&nbsp;<math><mrow><mi>V</mi><mo>⋅</mo><mi>x</mi></mrow></math></p><p>differentiable worst = x</p><p><math><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>V</mi><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>⋅</mo><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></math></p><p>V +&nbsp;<math><mrow><mi>x</mi><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>V</mi><mo>+</mo><mroot><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn><mn>6</mn></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow></math></p><p><math><mrow><mi>x</mi><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mroot><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn><mn>6</mn></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow></math></p><p>apply variable separable method</p><p><math><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><mo>∫</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>V</mi></mrow><mrow><mroot><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn><mn>6</mn></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow></mfrac><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><mrow><mo>∫</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi mathvariant="script">l</mi><mi>n</mi><mi>C</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow></mrow></mstyle></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>⇒</mo><mi mathvariant="script">l</mi><mi>n</mi><mrow><mo>|</mo><mrow><mi>V</mi><mo>+</mo><mroot><mrow><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn><mn>6</mn></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mi mathvariant="script">l</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mi>C</mi><mi>x</mi></mrow></math></p><p><math><mrow><mfrac><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn><mn>6</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>C</mi><mi>x</mi></mrow></math></p><p>Given y(1) = 3 C = 8</p><p>Now at x = 2</p><p><math><mrow><mfrac><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>1</mn><mn>6</mn><mo>.</mo><mn>4</mn></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>8</mn><mo>.</mo><mn>2</mn></mrow></math></p><p>y2 + 64 = (32 – y)2</p><p>y = 15</p>

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