Prove that:

$\mathrm{i.\; P}\left(A\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap B^{\prime }\right)$

$\mathrm{ii.\; P}\left(A\cup B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap B^{\prime }\right)+P\left(A^{\prime }\cap B\right)$

<p>This is a &nbsp;Short Answer Type Questions as classified in NCERT Exemplar</p><p><strong>Sol:</strong></p><p><strong><span contenteditable="false"> <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>T</mi> <mi>o</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> <mi>r</mi> <mi>o</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mover accent="true"> <mi>B</mi> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>R</mi> <mo>.</mo> <mi>H</mi> <mo>.</mo> <mi>S</mi> <mo>.</mo> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mover accent="true"> <mi>B</mi> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover accent="true"> <mi>B</mi> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover accent="true"> <mi>B</mi> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>L</mi> <mo>.</mo> <mi>H</mi> <mo>.</mo> <mi>S</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>H</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>c</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> <mi>r</mi> <mi>o</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>d</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>T</mi> <mi>o</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> <mi>r</mi> <mi>o</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mover accent="true"> <mi>B</mi> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover accent="true"> <mi>A</mi> <mo>¯</mo> </mover> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>R</mi> <mo>.</mo> <mi>H</mi> <mo>.</mo> <mi>S</mi> <mo>.</mo> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mover accent="true"> <mi>B</mi> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover accent="true"> <mi>A</mi> <mo>¯</mo> </mover> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover accent="true"> <mi>B</mi> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover accent="true"> <mi>A</mi> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>L</mi> <mo>.</mo> <mi>H</mi> <mo>.</mo> <mi>S</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>H</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>c</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> <mi>r</mi> <mi>o</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>d</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> </span></strong></p>

0 Upvotes 0 Upvotes 0 Downvotes

• • Report Abuse
• Comment