Show that the points $(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ and 3 $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ are equidistant from the plane and lie on opposite sides of it.

2 Views | Posted 3 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Payal Gupta | Contributor-Level 10

3 months ago

This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar

$\begin{array}{l} G i v e n points a r e P (\hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}) a n d Q (3 \hat{i} + 3 \hat{j} + 3 \hat{k}) a n d t h e p l a n e \vec{r} . (5 \hat{i} + 2 \hat{j} - 7 \hat{k}) + 9 = 0 \\ P e r p e n d i c u l a r distance o f P (\hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}) f r o m t h e p l a n e \\ \vec{r} . (5 \hat{i} + 2 \hat{j} - 7 \hat{k}) + 9 = | \frac{(\hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}) . (5 \hat{i} + 2 \hat{j} - 7 \hat{k}) + 9}{\sqrt[]{{(5)}^{2} + {(2)}^{2} + {(- 7)}^{2}}} | \\ = | \frac{5 - 2 - 21 + 9}{\sqrt[]{25 + 4 + 49}} | = | \frac{- 9}{\sqrt[]{78}} | \\ a n d p e r p e n d i c u l a r distance o f Q (3 \hat{i} + 3 \hat{j} + 3 \hat{k}) f r o m t h e p l a n e \\ = | \frac{(3 \hat{i} + 3 \hat{j} + 3 \hat{k}) . (5 \hat{i} + 2 \hat{j} - 7 \hat{k}) + 9}{\sqrt[]{25 + 4 + 49}} | \\ = | \frac{15 + 6 - 21 + 9}{\sqrt[]{78}} | = | \frac{9}{\sqrt[]{78}} | \\ H e n c e, t h e t w o points a r e equidistant f r o m t h e g i v e n p l a n e . \\ O p p o s i t e s i g n s h o w s t h a t t h e y l i e o n e i t h e r s i d e o f t h e p l a n e . \end{array}$

This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow><mi>G</mi><mi>i</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext>points<mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>P</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mover accent="true"><mi>i</mi><mo>^</mo></mover><mo>−</mo><mover accent="true"><mi>j</mi><mo>^</mo></mover><mo>+</mo><mn>3</mn><mover accent="true"><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mo>)</mo></mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>Q</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>3</mn><mover accent="true"><mi>i</mi><mo>^</mo></mover><mo>+</mo><mn>3</mn><mover accent="true"><mi>j</mi><mo>^</mo></mover><mo>+</mo><mn>3</mn><mover accent="true"><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mo>)</mo></mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>p</mi><mi>l</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mover accent="true"><mi>r</mi><mo>→</mo></mover><mo>.</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>5</mn><mover accent="true"><mi>i</mi><mo>^</mo></mover><mo>+</mo><mn>2</mn><mover accent="true"><mi>j</mi><mo>^</mo></mover><mo>−</mo><mn>7</mn><mover accent="true"><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>9</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow><mi>P</mi><mi>e</mi><mi>r</mi><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>u</mi><mi>l</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext>distance<mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>o</mi><mi>f</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>P</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mover accent="true"><mi>i</mi><mo>^</mo></mover><mo>−</mo><mover accent="true"><mi>j</mi><mo>^</mo></mover><mo>+</mo><mn>3</mn><mover accent="true"><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mo>)</mo></mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>f</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>p</mi><mi>l</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>e</mi></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover accent="true"> <mi>r</mi> <mo>→</mo> </mover> <mo>.</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>5</mn> <mover accent="true"> <mi>i</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mover accent="true"> <mi>j</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>−</mo> <mn>7</mn> <mover accent="true"> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>9</mn> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover accent="true"> <mi>i</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>−</mo> <mover accent="true"> <mi>j</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mover accent="true"> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>5</mn> <mover accent="true"> <mi>i</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mover accent="true"> <mi>j</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>−</mo> <mn>7</mn> <mover accent="true"> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>9</mn> </mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>7</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>9</mn> </mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> <mn>5</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mn>9</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mn>9</mn> </mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>7</mn> <mn>8</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>r</mi><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>u</mi><mi>l</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext>distance<mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>o</mi><mi>f</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>Q</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>3</mn><mover accent="true"><mi>i</mi><mo>^</mo></mover><mo>+</mo><mn>3</mn><mover accent="true"><mi>j</mi><mo>^</mo></mover><mo>+</mo><mn>3</mn><mover accent="true"><mi>k</mi><mo>^</mo></mover></mrow><mo>)</mo></mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>f</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>p</mi><mi>l</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>e</mi></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>3</mn> <mover accent="true"> <mi>i</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mover accent="true"> <mi>j</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mover accent="true"> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>5</mn> <mover accent="true"> <mi>i</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mover accent="true"> <mi>j</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>−</mo> <mn>7</mn> <mover accent="true"> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>9</mn> </mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> <mn>5</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mn>9</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mn>5</mn> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>9</mn> </mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>7</mn> <mn>8</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>9</mn> </mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>7</mn> <mn>8</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow><mi>H</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>c</mi><mi>e</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>w</mi><mi>o</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext>points<mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext>equidistant<mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>f</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>m</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>g</mi><mi>i</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>p</mi><mi>l</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>e</mi><mo>.</mo></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>O</mi> <mi>p</mi> <mi>p</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>s</mi> <mi>h</mi> <mi>o</mi> <mi>w</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mi>y</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>e</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>o</mi> <mi>f</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> <mi>l</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>e</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math>

0 Upvotes 0 Downvotes

Get authentic answers from experts, students and alumni that you won't find anywhere else

On Shiksha, get access to

65k Colleges
1.2k Exams
688k Reviews
1800k Answers

Community GuidelinesUser Points System

QuestionsDiscussionsTags

Show that the points $(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ and 3 $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ are equidistant from the plane and lie on opposite sides of it.

1 Answer

Learn more about...

Most viewed information

Share Your College Life Experience

Didn't find the answer you were looking for?

Need guidance on career and education? Ask our experts

Your Question

Show that the points ( i ^ − j ^ + k ^ ) and 3 ( i ^ + j ^ + k ^ ) are equidistant from the plane and lie on opposite sides of it.

1 Answer

Learn more about...

Most viewed information

Share Your College Life Experience

Didn't find the answer you were looking for?

Need guidance on career and education? Ask our experts

Your Question

Show that the points $(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ and 3 $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ are equidistant from the plane and lie on opposite sides of it.