Sketch the region $\left\{\left(x,0\right):y=\sqrt[]{4-x^2}\right\}$ and the x-axis. Find the area of the region using integration.

This is a short answer type question as classified in NCERT Exemplar

$\begin{array}{l}Wearegiventhat\left\{\left(x,0\right):y=\sqrt[]{4-x^2}\right\}\\ \Rightarrow y^2=4-x^2\\ \Rightarrow x^2+y^2=4whichisacircle.\\ Requiredarea=2.{\displaystyle \underset{0}{\overset{2}{\int }}\sqrt[]{4-x^2}dx}\\ \left[Sincecircleissymmetricalabouty-axis.\right]\\ =2.{\displaystyle \underset{0}{\overset{2}{\int }}\sqrt[]{{\left(2\right)}^2-x^2}dx}\\ =2.{\left[\frac{x}{2}\sqrt[]{4-x^2}+\frac{4}{2}si{n}^{-1}\frac{x}{2}\right]}_0^2\\ =2\left[\left(\frac{2}{2}-\sqrt[]{4-4}+2si{n}^{-1}\left(1\right)\right)-\left(0+0\right)\right]=2\left[2.\frac{\pi }{2}\right]=2\pi sq.units\\ Hence,therequiredarea=2\pi sq.units.\end{array}$

<p><span data-teams="true">This is a short answer type question as classified in NCERT Exemplar</span></p><div class="photo-widget-full"><div class="figure"><picture><source srcset="" media="(max-width: 500px)"><img alt="" width="" height="" loading="lazy"></picture><div class="photo-widget-full"><div class="figure"><picture><source srcset="" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1751350217phpP95EJt.jpeg" alt="" width="170" height="166" loading="lazy"></picture></div></div></div></div><p><span class="mathml" contenteditable="false"> <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>W</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>g</mi> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>a</mi> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>:</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mn>4</mn> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>⇒</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msup> <mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>⇒</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>w</mi> <mi>h</mi> <mi>i</mi> <mi>c</mi> <mi>h</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>c</mi> <mi>i</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>l</mi> <mi>e</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow>Required<mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mstyle displaystyle="true"><mrow><munderover><mo>∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></munderover><mrow><mroot><mrow><mn>4</mn><mo>−</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow></mrow></mroot><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow>Since<mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>c</mi><mi>i</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>l</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>s</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>s</mi><mi>y</mi><mi>m</mi><mi>m</mi><mi>e</mi><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>a</mi><mi>b</mi><mi>o</mi><mi>u</mi><mi>t</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mi>i</mi><mi>s</mi><mo>.</mo></mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>.</mo> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>.</mo> <msubsup> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mroot> <mrow> <mn>4</mn> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mroot> <mrow> <mn>4</mn> <mo>−</mo> <mn>4</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mo>.</mo> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mtext> </mtext> <mi>s</mi> <mi>q</mi> <mo>.</mo> <mtext> </mtext> <mi>u</mi> <mi>n</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>s</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>H</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>c</mi> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>q</mi> <mi>u</mi> <mi>i</mi> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>d</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mtext> </mtext> <mi>s</mi> <mi>q</mi> <mo>.</mo> <mtext> </mtext> <mi>u</mi> <mi>n</mi> <mi>i</mi> <mi>t</mi> <mi>s</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> </span></p>

0 Upvotes 0 Upvotes 0 Downvotes

• • Report Abuse
• Comment