The equation of a circle with the origin as the center and passing through the vertices of an equilateral triangle whose median is of length $3a$ is

$(a)$(a) $x^2+y^2=9a^2$
(b) $x^2+y^2=9a^2$
(c) $x^2+y^2=4a^2$
(d) $x^2+y^2=a^2$ ${\mathrm{}}^{}$

[Hint: The centroid of the triangle coincides with the center of the circle, and the radius is $\frac{2}{3}$ of the median.]

This is an objective Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Sol:

 

$\begin{array}{l}LetABCbeanequilateraltriangleinwhichmedianAD=3a.\\ Centreofthecircleissameasthecentroidofthetrianglei.e.,\left(0,0\right)\\ AG:GD=2:1\\ So,AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\times 3a=2a\\ \therefore Theequationofthecircleis\\ {\left(x-0\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2={\left(2a\right)}^2\\ \Rightarrow x^2+y^2=4a^2\\ Hence,thecorrectoptionis\left(c\right).\end{array}$

<p>This is an objective Type Questions as classified in NCERT Exemplar</p><p><strong>Sol:</strong></p><div class="photo-widget-full"><div class="figure"><picture><source srcset="" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1751882369phpiscmt6.jpeg" alt="" width="237" height="190" loading="lazy"></picture></div></div><p>&nbsp;</p><p><strong><math><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><mi>L</mi><mi>e</mi><mi>t</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>b</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>a</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>e</mi><mi>q</mi><mi>u</mi><mi>i</mi><mi>l</mi><mi>a</mi><mi>t</mi><mi>e</mi><mi>r</mi><mi>a</mi><mi>l</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mi>l</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>w</mi><mi>h</mi><mi>i</mi><mi>c</mi><mi>h</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>m</mi><mi>e</mi><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>A</mi><mi>D</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>a</mi><mo>.</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mi>C</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>o</mi><mi>f</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>c</mi><mi>i</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>l</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>s</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>m</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>a</mi><mi>s</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>c</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>i</mi><mi>d</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>o</mi><mi>f</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>g</mi><mi>l</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mo>.</mo><mi>e</mi><mo>.</mo><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>A</mi><mi>G</mi><mo>:</mo><mi>G</mi><mi>D</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>:</mo><mn>1</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mi>S</mi><mi>o</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>A</mi><mi>G</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mi>A</mi><mi>D</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>×</mo><mn>3</mn><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>∴</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>T</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>e</mi><mi>q</mi><mi>u</mi><mi>a</mi><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>o</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>o</mi><mi>f</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>c</mi><mi>i</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>l</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>s</mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>0</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>y</mi><mo>−</mo><mn>0</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>⇒</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>4</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>c</mi><mi>e</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>r</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>c</mi><mi>t</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>o</mi><mi>p</mi><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>o</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>s</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>c</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></math></strong></p>

0 Upvotes 0 Upvotes 0 Downvotes

• • Report Abuse
• Comment