The number of distinct real roots of the equation x⁵ $\left(x^3-x^2-x+1\right)$ + $x\left(3x^3-4x^2-2x+4\right)-1=0$ is …………..

<p>&nbsp;<math><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>8</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>7</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>6</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>3</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>4</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>⇒</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>7</mn></mrow></msup><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msup><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>3</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mi>x</mi><mrow><mo> (</mo><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mrow><mo> (</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>⇒</mo><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo> (</mo><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo> (</mo><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>∴</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>±</mo><mn>1</mn></mrow></math>&nbsp;are roots of above equation and x5 + 3x – 1 is a monotonic term hence vanishes at exactly one value of x other then 1 or 1.</p><p><math><mrow><mo>∴</mo></mrow></math>&nbsp;3 real roots.</p>

0 Upvotes 0 Upvotes 0 Downvotes

• • Report Abuse
• Comment