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The slope of the tangent to a curve C : y = y(x) at any point (x, y) on it is $\frac{2 e^{2 x} - 6 e^{- x} + 9}{2 + 9 e^{- 2 x}} .$ If C passes through the points $(0, \frac{1}{2} + \frac{π}{2 \sqrt[]{2}}) a n d (α, \frac{1}{2} e^{2 a}),$ then e^a is equal to:

Option 1 -

$\frac{3 + \sqrt[]{2}}{3 - \sqrt[]{2}}$

Option 2 -

$\frac{3}{\sqrt[]{2}} (\frac{3 + \sqrt[]{2}}{3 - \sqrt[]{2}})$

Option 3 -

$\frac{1}{\sqrt[]{2}} (\frac{\sqrt[]{2} + 1}{\sqrt[]{2} - 1})$

Option 4 -

$\frac{\sqrt[]{2} + 1}{\sqrt[]{2} - 1}$

2 Views | Posted 2 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

2 months ago

Correct Option - 2

Detailed Solution:

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x} - 6 e^{- x} + 9}{2 + 9 e^{- 2 x}} = e^{2 x} - \frac{6 e^{- x}}{2 + 9 e^{- 2 x}}$

$\int d y = \int e^{2 x} d x - 3 \int \frac{e^{- z}}{\underset{p u t e^{- x} = t}{\underset{?}{1 + (\frac{3 e^{- x}}{\sqrt[]{2}})}}} d x$

= $y = \frac{e^{2 x}}{2} = \sqrt[]{2} t a n^{- 1} (\frac{3 e^{- x}}{\sqrt[]{2}}) + C$

It is given that the curve passes through

$(0, \frac{1}{2} + \frac{π}{2 \sqrt[]{2}})$

$\frac{3}{\sqrt[]{2}} e^{α} - \frac{3}{\sqrt[]{2}} = e^{α} + \frac{9}{2}$

$e^{α} = \frac{\frac{9}{2} + \frac{3}{\sqrt[]{2}}}{\frac{3}{\sqrt[]{2}} - 1} = \frac{3}{\sqrt[]{2}} (\frac{3 + \sqrt[]{2}}{3 - \sqrt[]{2}})$

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The slope of the tangent to a curve C : y = y(x) at any point (x, y) on it is $\frac{2 e^{2 x} - 6 e^{- x} + 9}{2 + 9 e^{- 2 x}} .$ If C passes through the points $(0, \frac{1}{2} + \frac{π}{2 \sqrt[]{2}}) a n d (α, \frac{1}{2} e^{2 a}),$ then e^a is equal to:

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