The triangle of maximum area that can be inscribed in a given circle of radius ‘r’ is:

Option 1 -

An isosceles triangle with base equal to 2r.

Option 2 -

An equilateral triangle having each of its side of length $\sqrt[]{3} r$

Option 3 -

A right angle triangle having two of its sides of length 2r and r.

Option 4 -

An equilateral triangle of height $\frac{2 r}{3} .$

2 Views | Posted 2 weeks ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

alok kumar singh | Contributor-Level 10

2 weeks ago

Correct Option - 2

Detailed Solution:

From option let it be isosceles where AB = AC then

$x = \sqrt[]{r^{2} - {(h - r)}^{2}}$

= $\sqrt[]{r^{2} - h^{2} - r^{2} + 2 r h}$

$x = \sqrt[]{2 h r - h^{2}} . . . . . . . . (i)$

Now ar $(Δ A B C) = Δ = \frac{1}{2} B C \times A L$

$Δ = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt[]{2 h r - a^{2}} \times h$

then $x = \sqrt[]{2 \times \frac{3 r}{2} \times r - \frac{9 r^{2}}{4}} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} r f r o m (i)$

$\Rightarrow B C = \sqrt[]{3} r$

So . $A B = \sqrt[]{h^{2} + x^{2}} = \sqrt[]{\frac{9 r^{2}}{4} + \frac{3 r^{2}}{4}} = \sqrt[]{3} r$

Hence $Δ$ be equilateral having each side of length $\sqrt[]{3} r .$

From option let it be isosceles where AB = AC then <math> <mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>h</mi> <mo>−</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math>             =   <math> <mrow> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>h</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>r</mi> <mi>h</mi> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math> <math> <mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> <mi>h</mi> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>h</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math>        Now ar <math> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>Δ</mi> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>Δ</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mi>B</mi> <mi>C</mi> <mo>×</mo> <mi>A</mi> <mi>L</mi> </mrow> </math>  <math> <mrow> <mi>Δ</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>×</mo> <mn>2</mn> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> <mi>h</mi> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>×</mo> <mi>h</mi> </mrow> </math>       then   <math> <mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>×</mo> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>9</mn> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mi>r</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mi>r</mi> <mi>o</mi> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <mi>B</mi> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>r</mi> </mrow> </math>      So . <math> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mi>h</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>9</mn> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>r</mi> </mrow> </math> Hence <math> <mrow> <mi>Δ</mi> </mrow> </math> be equilateral having each side of length <math> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>r</mi> <mo>.</mo> </mrow> </math>  <div><div><picture><source srcset="" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1758091181phpBx5Dtx.jpeg" alt="" width="226" height="198" loading="lazy"></picture></div></div>

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