Three numbers are in an increasing geometric progression with common ratio r. If the middle number is doubled, then the new number are in an arithmetic progression with common difference d. If the fourth term of GP is 3r², then r² – d is equal to:

 

<p>Let <span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>? </mo> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> </span>, a, ar are in G.P. <span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>∴</mo> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mo>, </mo> </mrow> </math> </span> 2a, ar are in A.P.</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mo>⇒</mo> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>⇒</mo> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>⇒</mo> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>A</mi> <mo>/</mo> <mi>q</mi> <mo>, </mo> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⇒</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>3</mn> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>∴</mo> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>∴</mo> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>7</mn> <mo>+</mo> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> </span></p>

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