Using the definition, prove that the function $f:A\to B$ is invertible if and only if $f$ is both one-one and onto.

<p>This is a Long Answer Type Question as classified in NCERT Exemplar</p><p><strong>Sol:</strong></p><p><math><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>A</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>n</mi><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>o</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>f</mi><mo>:</mo><mi>X</mi><mo>→</mo><mi>Y</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>s</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>i</mi><mi>d</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>o</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>b</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>b</mi><mi>l</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>f</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>e</mi><mi>x</mi><mi>i</mi><mi>s</mi><mi>t</mi><mi>s</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>a</mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>n</mi><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>o</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>g</mi><mo>:</mo><mi>Y</mi><mo>→</mo><mi>X</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>s</mi><mi>u</mi><mi>c</mi><mi>h</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>a</mi><mi>t</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>g</mi><mi>o</mi><mi>f</mi><mo>=</mo><msub><mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"><mrow><mi>I</mi></mrow></mstyle><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>f</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mo>=</mo><msub><mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"><mrow><mi>I</mi></mrow></mstyle><mrow><mi>Y</mi></mrow></msub><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><mi>r</mi><mi>s</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>o</mi><mi>f</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>f</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>s</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mi>o</mi><mi>t</mi><mi>e</mi><mi>d</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>b</mi><mi>y</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msup><mstyle mathsize="140%" displaystyle="true"><mrow><mi>f</mi></mrow></mstyle><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>.</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>A</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>n</mi><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>o</mi><mi>n</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>f</mi><mo>:</mo><mi>X</mi><mo>→</mo><mi>Y</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>s</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>s</mi><mi>a</mi><mi>i</mi><mi>d</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>t</mi><mi>o</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>b</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><mi>r</mi><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>b</mi><mi>l</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>f</mi><mi>f</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>f</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>i</mi><mi>s</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>a</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>b</mi><mi>i</mi><mi>j</mi><mi>e</mi><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>f</mi><mi>u</mi><mi>n</mi><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>i</mi><mi>o</mi><mi>n</mi><mo>.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></math></p>

0 Upvotes 0 Upvotes 0 Downvotes

• • Report Abuse
• Comment