4.24 A uniform magnetic field of 3000 G is established along the positive z-direction. A rectangular loop of sides 10 cm and 5 cm carries a current of 12 A. What is the torque on the loop in the different cases shown in Fig. 4.28? What is the force on each case? Which case corresponds to stable equilibrium?

<p><strong>4.24 </strong>Magnetic field strength, B = 3000G = 3000 <span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </msup> </math> </span>T = 0.3 T</p><p>Length of the rectangular loop, l = 10 cm</p><p>Width of the rectangular loop, b = 5 cm</p><p>Area of the loop, A = l<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <mi>b</mi> </math> </span> = 10<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <mn>5</mn> </math> </span> = 50<span contenteditable="false"> <math> <msup> <mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </math> </span> = 50<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </msup> </math> </span><span contenteditable="false"> <math> <msup> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </math> </span></p><p>Current in the loop, I = 12 A</p><p>Assume that the anti-clockwise direction of the current is positive and vice versa.</p><p>Torque, <span contenteditable="false"> <math> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>τ</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span>= <span contenteditable="false"> <math> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span><span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span></p><p>From the given figure, it can be observed that A is normal to the y-z plane and B is directed along z-axis.</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mi>τ</mi> </math> </span>= 12*( 50 <span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> <mo>×</mo> <mn>0.3</mn> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span>=<span contenteditable="false"> <math> <mo>-</mo> <mn>1.8</mn> <mi> </mi> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span> Nm</p><p>The Torque<span contenteditable="false"> <math> <mn>1.8</mn> <mi> </mi> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </math> </span> is Nm along the negative y-direction.</p><p>The force on the loop is zero because the angle between A &amp; B is zero.</p><p>This case is similar to case (a). The answer is same as case (a)</p><p>Torque,<span contenteditable="false"> <math> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>τ</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span> = I<span contenteditable="false"> <math> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span><span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span></p><p>From the given figure, it can be observed that A is normal to the x-z plane and B is directed along z-axis.</p><p>= - 12 <span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> </math> </span>(50<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> <mo>×</mo> <mn>0.3</mn> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span> = <span contenteditable="false"> <math> <mn>1.8</mn> <mi> </mi> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </math> </span>Nm</p><p>The Torque is<span contenteditable="false"> <math> <mn>1.8</mn> <mi> </mi> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </math> </span> Nm at an angle 240 <span contenteditable="false"> <math> <mo>°</mo> </math> </span>with positive x direction. The force is zero</p><p>Magnitude of the torque is given as:</p><p>|<span contenteditable="false"> <math> <mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mrow> <mrow> <mi>τ</mi> </mrow> </mrow> </mfenced> </math> </span>|= IAB|</p><p>12<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> </math> </span> 50 <span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mn>0.3</mn> </math> </span>=<span contenteditable="false"> <math> <mn>1.8</mn> <mi> </mi> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </math> </span> Nm</p><p>The Torque is<span contenteditable="false"> <math> <mn>1.8</mn> <mi> </mi> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </math> </span>is Nm at an angle 240 with positive x direction. The force is zero.</p><p>Torque,<span contenteditable="false"> <math> <mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mrow> <mrow> <mi>τ</mi> </mrow> </mrow> </mfenced> </math> </span> = I<span contenteditable="false"> <math> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span><span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span></p><p>= (12 <span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> </math> </span>50<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mi> </mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span><span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <mi> </mi> <mn>0.3</mn> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span></p><p>= 0</p><p>The torque is zero and the force is also zero.</p><p>Torque,<span contenteditable="false"> <math> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>τ</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span> = I<span contenteditable="false"> <math> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span><span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span></p><p>= (12 <span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> </math> </span>50<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mi> </mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span><span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <mi> </mi> <mn>0.3</mn> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span></p><p>= 0</p><p>The torque is zero and the force is also zero.</p><p>In the case of (e), the direction of I <span contenteditable="false"> <math> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span>and<span contenteditable="false"> <math> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span> is the same and the angle between them is zero. If displaced, they come back to equilibrium. Hence, its equilibrium is stable.</p><p>In the case of (f), the direction of I<span contenteditable="false"> <math> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span> and <span contenteditable="false"> <math> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> <mo>?</mo> </mover> </math> </span>is opposite. The angle between them is 180<span contenteditable="false"> <math> <mo>°</mo> </math> </span>. If disturbed, it does not come back to its original position, hence the equilibrium is unstable.</p>

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