A body is projected vertically upwards from the surface of earth with a velocity sufficient enough to carry it to infinity. The time taken by it to earth reach height h is________

Option 1 -

$\sqrt[]{\frac{2 R_{e}}{g}} [{(1 + \frac{h}{R_{e}})}^{\frac{3}{2}} - 1]$

Option 2 -

$\frac{1}{3} \sqrt[]{\frac{2 R_{e}}{g}} [{(1 + \frac{h}{R_{e}})}^{\frac{3}{2}} - 1]$

Option 3 -

$\frac{1}{3} \sqrt[]{\frac{R_{e}}{2 g}} [{(1 + \frac{h}{R_{e}})}^{\frac{3}{2}} - 1]$

Option 4 -

$\sqrt[]{\frac{R_{e}}{2 g}} [{(1 + \frac{h}{R_{e}})}^{\frac{3}{2}} - 1]$

2 Views | Posted 2 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

2 months ago

Correct Option - 2

Detailed Solution:

Using conservation of energy :

$? \frac{? G M m}{R} + \frac{1}{2} m {(\sqrt[]{\frac{2 G M}{R}})}^{2} = \frac{? G M m}{r} + \frac{1}{2} m v^{2}$

$? \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{G M m}{r}$

$? ?_{R}^{R + h} r^{1 / 2} d r = \sqrt[]{2 G M} ?_{0}^{t} d t$

$? \frac{2}{3} R^{3 / 2} [{(1 + \frac{h}{R})}^{3 / 2} ? 1] = \sqrt[]{2 G M} t$

$t = \frac{1}{3} \sqrt[]{\frac{2 R}{g}} [{(1 + \frac{h}{R})}^{3 / 2} ? 1]$

Using conservation of energy : <math> <mrow> <mo>? </mo> <mfrac> <mrow> <mo>? </mo> <mi>G</mi> <mi>M</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>? </mo> <mi>G</mi> <mi>M</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math> <math> <mrow> <mo>? </mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>G</mi> <mi>M</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> <math> <mrow> <mo>? </mo> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <munderover> <mo>? </mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <munderover> <mo>? </mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </math> <math> <mrow> <mo>? </mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo> [</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>h</mi> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>? </mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>t</mi> </mrow> </math> <math> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>g</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mrow> <mo> [</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>h</mi> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>? </mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </math>

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A body is projected vertically upwards from the surface of earth with a velocity sufficient enough to carry it to infinity. The time taken by it to earth reach height h is________

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