A copper ring of radius $\mathrm{R}=8\mathrm{c}\mathrm{m}$ and circular cross-sectional $A=2{\mathrm{m}\mathrm{m}}^2$ is in a homogeneous magnetic field whose induction is perpendicular to its plane and changes uniformly. At $t=0$ the induction is $B_0=0$ and in $\mathrm{t}=0.2\mathrm{s}$  it increases to $\mathrm{B}=2\mathrm{T}$ . The angular velocity $\omega$ at which the ring should be rotated uniformly in order not to have tensile stress in it at time instant $t_1=0.1\mathrm{s}$ is approximately: (mass of the ring $\mathrm{m}=9$ gram, Resistance $=5\mathrm{m}\mathrm{\Omega }$ , self-induction and gravity can be neglected)

Correct Option - 4


Detailed Solution:

$R=8\mathrm{c}\mathrm{m},A=2{\mathrm{m}\mathrm{m}}^2,B_0=0$  at   $t=0\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}$ $$

$$ $B=2$  Tat $$ $t=0.2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}$

$$ $\left|\epsilon \right|=\frac{2-0}{0.2}\pi \times 64\times {10}^{-4}$  volts

$\frac{}{}$ $i=\frac{\left|\epsilon \right|}{r}=\frac{64\pi \times {10}^{-3}}{5\times {10}^{-3}}$  ampere

$$ $i=\frac{64\pi }{5}$  ampere

$$ $dF=idlB=$  magnetic force

$dm{\omega }^{2}R=$ centrifugal force

$\begin{array}{ll}\therefore & idlB=dm{\omega }^{2}R\\ \Rightarrow & idl\cdot B=\frac{m}{2\pi R}\cdot dl{\omega }^{2}R\\ \Rightarrow & \omega =\sqrt[]{\frac{2\pi iB}{m}}=\sqrt[]{\frac{2\pi \times 64\pi \times 1}{5\times 9\times {10}^{-3}}}\\ & \omega =\frac{16\pi }{3}\times 10\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}=170\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\end{array}$

<p><span contenteditable="false"> <math> <mi>R</mi> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mo>,</mo> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mrow> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </math> </span>&nbsp;at &nbsp;<span contenteditable="false"> <math> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">c</mi> </math> </span><math></math></p><p><math></math><span contenteditable="false"> <math> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </math> </span>&nbsp;Tat&nbsp;<math></math> <span contenteditable="false"> <math> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0.2</mn> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi 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