A satellite is to be placed in equatorial geostationary orbit around earth for communication.

(a) Calculate height of such a satellite.

(b) Find out the minimum number of satellites that are needed to cover entire earth so that at least one satellites is visible from any point on the equator.

 [M = 6 × 1024 kg, R = 6400 km, T = 24h, G = 6.67 × 10^-11 SI units

This is a Long Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Explanation- mass of earth M = 6 $\times {10}^{24}kg$

Radius of the earth , R = 6400km= 6.4 $\times {10}^{6}m$

T=24h= 24 $\times 60\times 60=86400s$

G = 6.67 $\times$ 10^-11Nm²/kg²

(a) Time period T = $2\pi \sqrt[]{\frac{{\left(R+h\right)}^3}{GM}}$

$T^2$ = $4\pi$ ^{2 $\frac{{(R+h)}^3}{GM}$}

$R+h$ = ( $\frac{T^{2}GM}{4{\pi }^2}$ )^1/3

$h=$  ( $\frac{T^{2}GM}{4{\pi }^2}$ )^1/3-R

So after solving we get h = 3.59 $\times {10}^{7}m$

(b) If satellite is at height h from the earth’s surface

 

Cos $\theta$ = $\frac{R}{R+h}=\frac{1}{\left(1+\frac{h}{R}\right)}=\frac{1}{1+5.61}=\frac{1}{6.61}=0.1513$ = cos81⁰18’

$\theta$ = 81⁰18’

$2\theta$ =2(81⁰18’)= 162⁰36’

If n number of satellite needed to cover entire the earth then

So n = 360⁰/2 $\theta$ = 2.31

So minimum 3 satellite are required to cover entire earth.

<div>This is a Long Type Questions as classified in NCERT Exemplar</div><p><strong>Explanation-</strong> mass of earth M = 6<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>24</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>k</mi> <mi>g</mi> </math> </span></p><p>Radius of the earth , R = 6400km= 6.4<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>m</mi> </math> </span></p><p>T=24h= 24<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <mn>60</mn> <mo>×</mo> <mn>60</mn> <mo>=</mo> <mn>86400</mn> <mi>s</mi> </math> </span></p><p>G = 6.67<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> </math> </span>10^-11Nm²/kg²</p><p>(a) Time period T =<span contenteditable="false"> <math> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mroot> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> </mrow> </mrow> </mfenced> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <msup> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi> </mi> </math> </span>=<span contenteditable="false"> <math> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </math> </span> ^{2<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>}</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> </math> </span>= (<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>)^1/3</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mi> </mi> </math> </span>&nbsp;(<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>)^1/3-R</p><p>So after solving we get h = 3.59<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>7</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>m</mi> </math> </span></p><p>(b) If satellite is at height h from the earth’s surface</p><div><div><picture><source srcset="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1745474627phpNS2Z9S_480x360.jpeg" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1745474627phpNS2Z9S.jpeg" alt="" width="127" height="101"></picture></div></div><p>&nbsp;</p><p>Cos<span contenteditable="false"> <math> <mi>θ</mi> </math> </span>=<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>h</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfenced> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi> </mi> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>5.61</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>6.61</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0.1513</mn> </math> </span>= cos81⁰18’</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mi>θ</mi> </math> </span>= 81⁰18’</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mn>2</mn> <mi>θ</mi> </math> </span>=2(81⁰18’)= 162⁰36’</p><p>If n number of satellite needed to cover entire the earth then</p><p>So n = 360⁰/2<span contenteditable="false"> <math> <mi>θ</mi> </math> </span>= 2.31</p><p>So minimum 3 satellite are required to cover entire earth.</p>

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