A uniform rod of length $b$ capable of turning about its end which is out of water, rests inclined to the vertical. If the specific gravity of the rod is $\frac{5}{9}$ , find the length of the rod immersed in water.

 

Correct Option - 4


Detailed Solution:

Let $2x$ $$ length of rod is immersed in water.

$$ ${\tau }_{\text{Hinge}}($  net $)=0$ $$

$\Rightarrow \mathrm{}\mathrm{m}\mathrm{g}?\frac{b}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}?\theta -F_B(b-x)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}?\theta =0$

$\Rightarrow \mathrm{}mgb=2(b-x)F_B$

$$ $\therefore \mathrm{}{F}_B=\frac{mgb}{2(b-x)}=\frac{\left(Abd\right)b}{2(b-x)}g$  , where $d=$ $$ density of material of rod

${}_{}$  $F_B=$ Buoyant force $\mathrm{}\frac{}{}\frac{}{}$

Equate $F_B,\frac{A{b}^{2}d}{2(b-x)}=2Ax\rho$ ${}_{}\frac{{}^{}}{}$

$\Rightarrow \mathrm{}{b}^2=4x(b-x)\frac{9}{5}$

$\mathrm{}{}^{}\frac{{}^{}}{}\frac{}{}$  $\Rightarrow \mathrm{}{x}^2-bx+\frac{5b^2}{36}=0\Rightarrow x=\frac{b}{6}\therefore$ immersed $=\frac{b}{3}$

<p>Let <span contenteditable="false"> <math> <mn>2</mn> <mi>x</mi> </math> </span><math></math>&nbsp;length of rod is immersed in water.</p><p><math></math><span contenteditable="false"> <math> <msub> <mrow> <mrow> <mi>τ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mtext>Hinge</mtext> <mtext>&nbsp;</mtext> </mrow> </mrow> </msub> <mo>(</mo> </math> </span>&nbsp;net <span contenteditable="false"> <math> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </math> </span><math></math></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mo>⇒</mo> <mrow> <mi mathvariant="normal"> </mi> </mrow> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mo>?</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> <mo>?</mo> <mi>θ</mi> <mo>-</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> <mo>?</mo> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mo>⇒</mo> <mrow> <mi mathvariant="normal"> </mi> </mrow> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> </math> </span></p><div><div><picture><source srcset="" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1757485928php3qXr6v.jpeg" alt="" width="147" height="125" loading="lazy"></picture></div></div><p><math></math><span contenteditable="false"> <math> <mo>∴</mo> <mrow> <mi mathvariant="normal"> </mi> </mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mi>b</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>A</mi> <mi>b</mi> <mi>d</mi> <mo>)</mo> <mi>b</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>g</mi> </math> </span>&nbsp;, where <span contenteditable="false"> <math> <mi>d</mi> <mo>=</mo> </math> </span><math></math>&nbsp;density of material of rod</p><p><math><msub><mrow><mrow></mrow></mrow><mrow><mrow></mrow></mrow></msub></math>&nbsp;<span contenteditable="false"> <math> <msub> <mrow> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> </math> </span>Buoyant force&nbsp;<math><mrow><mi mathvariant="normal"></mi></mrow><mfrac><mrow><mrow></mrow></mrow><mrow><mrow></mrow></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mrow></mrow></mrow><mrow><mrow></mrow></mrow></mfrac></math></p><p>Equate <span contenteditable="false"> <math> <msub> <mrow> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>A</mi> <mi>x</mi> <mi>ρ</mi> </math> </span><math><msub><mrow><mrow></mrow></mrow><mrow><mrow></mrow></mrow></msub><mfrac><mrow><mrow><msup><mrow><mrow></mrow></mrow><mrow><mrow></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mrow><mrow></mrow></mrow></mfrac></math></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mo>⇒</mo> <mrow> <mi mathvariant="normal"> </mi> </mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>-</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>9</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p><math><mrow><mi mathvariant="normal"></mi></mrow><msup><mrow><mrow></mrow></mrow><mrow><mrow></mrow></mrow></msup><mfrac><mrow><mrow><msup><mrow><mrow></mrow></mrow><mrow><mrow></mrow></mrow></msup></mrow></mrow><mrow><mrow></mrow></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mrow></mrow></mrow><mrow><mrow></mrow></mrow></mfrac></math>&nbsp;<span contenteditable="false"> <math> <mo>⇒</mo> <mrow> <mi mathvariant="normal"> </mi> </mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>5</mn> <msup> <mrow> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>36</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>⇒</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>6</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>∴</mo> </math> </span>immersed<span contenteditable="false"> <math> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p>

0 Upvotes 0 Upvotes 0 Downvotes

• • Report Abuse
• Comment