A uniform rod of length 'l' is pivoted at one of its ends on a vertical shaft of negligible radius. When the shaft rotates at angular speed $\omega$  the rod makes an angle   $\theta$ with it (see figure). To find $\theta$ equate the rate of change of angular momentum (direction going into the paper)   $\frac{m{l}^2}{12}{\omega }^2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}?\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta$ about the centre of mass (CM) to the torque provided by the horizontal and vertical forces   ${\mathrm{F}}_{\mathrm{H}}$ and   ${\mathrm{F}}_{\mathrm{V}}$ about the $\mathrm{C}\mathrm{M}$   . The value of $\theta$ is then such that:

 

Correct Option - 3


Detailed Solution:

Torque of centrifugal force about $A$

$=\int d=\int \left[dm{\omega }^2(x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}?\theta )\right](x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta )$

$={\int }_0^{\mathcal{l}}?\frac{\mathrm{m}}{\mathcal{l}}\mathrm{d}x{\omega }^2{x}^2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}?\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta$

$=\frac{m}{\mathcal{l}}{\omega }^2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}?\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta {\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^{\mathcal{l}}=\frac{m{\omega }^2{\mathcal{l}}^2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}?\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta }{3}$

  ${\tau }_{\mathrm{m}\mathrm{g}}={\tau }_{\text{centrifugal}}$ (about A)

$\mathrm{m}\mathrm{g}\frac{\mathcal{l}}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}?\theta =\frac{m{\omega }^2{\mathcal{l}}^2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}?\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta }{3}$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta =\frac{3g}{2\mathcal{l}{\omega }^2}$

 

<p>Torque of centrifugal force about &lt;!-- [if gte msEquation 12]><m:oMath><i style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-family:"Cambria Math",serif'><m:r>A</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--&gt;&lt;!-- [if !msEquation]--&gt;&lt;!-- [if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f"> <v:stroke joinstyle="miter"/> <v:formulas> <v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/> <v:f eqn="sum @0 1 0"/> <v:f eqn="sum 0 0 @1"/> <v:f eqn="prod @2 1 2"/> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/> <v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/> <v:f eqn="sum @0 0 1"/> <v:f eqn="prod @6 1 2"/> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/> <v:f eqn="sum @8 21600 0"/> <v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/> <v:f eqn="sum @10 21600 0"/> </v:formulas> <v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/> <o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:7pt; height:13pt'> <v:imagedata src="file:///C:/Users/ALOK~1.SIN/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.png" o:title="" chromakey="white"/></v:shape><![endif]--&gt;&lt;!-- [if !vml]--&gt;<img src="file:///C:/Users/ALOK~1.SIN/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png" width="9" height="17"><span contenteditable="false"> <math> <mi>A</mi> </math> </span>&lt;!--[endif]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> <mo>?</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfenced> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mo>?</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> </math> </span><br>&lt;!--[endif]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mo>=</mo> <msubsup> <mrow> <mrow> <mo>∫</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> </mrow> </msubsup> <mo>?</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mi>x</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> <mo>?</mo> <mi>θ</mi> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mo>?</mo> <mi>θ</mi> </math> </span></p><p><span 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